Тип: специфические. Разложение функций, заданных в промежутке (0,е) в ряд Фурье

Разложение функций, заданных в промежутке (0,е) в ряд Фурье.

Разложение четных и нечетных 2e периодических функций в ряд Фурье.

Разложение 2е периодических функций в ряд Фурье.

Пусть f(x) – 2e периодическая функция. Сделаем замену переменной x= t, в результате получим периодическую функцию, которую по известным формулам разложим в ряд Фурье.

, где

Теперь сделаем обратную замену где

Теорема Дирихле остаётся справедливой и для 2е периодической функции, только выполнение условий теоремы надо проверить в промежутке (-е; е)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Данная функция в промежутке (-2;2)удовлетворяет всем условиям теоремы Дирхиле, поэтому она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Данную функцию периодически продолжим с периодом 4.

На чертеже изображён график суммы ряда Фурье.

Найдём коэффициент ряда Фурье e=2.

При вычислении интеграла учтено, что, при

1) Пусть является четной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

2) Пусть является нечетной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. В данном примере e=1. Все условия теоремы Дирихле для данной функции в промежутке (-1,1) выполняются, поэтому функция разлагается к среднему арифметическому пределов слева и справа. Данную функцию периодически продолжим с периодом 2.

-1

x

y

На чертеже мы изобразим график суммы ряда Фурье. Так как является четной функцией, то

Далее,. Для вычисления последнего интеграла надо дважды применить формулу интегрирования по частям.

Теперь запишем ряд Фурье для данной функции

.

Данную функцию можно продолжить в промежуток (-е, е) различными способами. Отметим, что вычислений будет меньше, если функцию продолжить в промежуток (-е, е) четным и нечетным способом, так как половина коэффициентов будет равна 0. Затем, полученную функцию, надо периодически продолжить с периодом 2е.

Пример 3. Разложить функцию в ряд Фурье по.

Решение. Так как данную функцию требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то ее надо продолжить на промежуток (-3, 3) нечетным образом, а затем функцию продолжить периодически с периодом 6.

-3

x

y

-1

-4

На чертеже изображен график суммы ряда Фурье рассматриваемой функции.

Так как данную функцию продолжили нечетным способом, то

Вид: Проекционные	Название	Основные входы от	Основные выходы к	Функции
Моторные	Вентральное латеральное (VL)	Зубчатое ядро мозжечка, Черная субстанция, Бледный шар	Первичная моторная кора (поле 4), премоторная кора (поле 6)	Инициация движений
Вентральное медиальное (VA)	Бледный шар, Черная субстанция	Премоторная кора (поле 6) и префронтальная кора	Планирование движений
Лимбические	Передние (AN)	Гиппокамп (свод), Мамилло-таламический тракт	Поясная извилина	Эмоции, память (лимбическая система)

Тип: специфические

Вид: Ассоциативные	Название	Основные входы от	Основные выходы к	Функции
Подушка	Сетчатка, верхние холмы, Вторичная зрительная кора (поля 18,19)	Теменно-затылочная височная ассоциативная коры (поля 39, 40)	Зрительное опознание, схема тела
Латеральное заднее (LP)	Верхние и нижние холмы ЛКТ, МКТ	Теменная ассоциативная кора	Не известно
Латеральное дорсальное (LD)	Гиппокамп (свод)	Поясничная извилина	Память (лимбическая система)
Дорсомедиальное (MD)	Спиноталамическая петля, амигдала, энторинальная кора	Префронтальная кора	Эмоциональные реакции

Тип: неспецифические

Название	Основные входы от	Основные выходы к	Функции
Часть Вентрального переднего (VA)	Другие ядра таламуса	Префронтальная кора
Медианный (CeM),парафасцикулярные ядра	Реципрокные связи с базальными ганглиями	Лобная и теменная доли, хвостатое ядро и скорлупа	Реакция на боль, настороженность/ бдительность (Alertness)
Другие интраламинарные ядра	РФ, тройничная петля и спино-таламический тракт, ядра мозжечка и др.	Диффузные проекции к областям коры большого мозга	Цикл сон-бодрствование
Ядра средней линии		Теменная, орбито-фронтальная, лимбическая области коры

Дата добавления: 2014-01-20