Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

Лекция 7. Электромагнитные колебания

Колебательные и волновые процессы, изучаемые в различных разделах физики, проявляют общность закономерностей. Общность колебательных и волновых закономерностей проявляется в общности математических уравнений, описывающих процессы различной физической природы.

В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Электромагнитное поле в таких цепях состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Эти поля существуют независимо друг от друга.

Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени τ распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой. Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c, то τгде l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время τ много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях, а также сами цепи, называются квазистационарными.

Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Рисунок 7.1. Цепи зарядки и разрядки конденсатора через резистор

Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC - и RL -цепях при подключении и отключении источника постоянного тока. На рисунке 7.1 изображена электрическая цепь, состоящая из конденсатора с емкостью C, резистора с сопротивлением R и источника тока с ЭДС, равной Если замкнуть ключ K в положение 1, то начинается процесс зарядки конденсатора через резистор R. Для квазистационарной цепи по закону Ома можно записать: RJ + U = , где J – мгновенное

значение силы тока в цепи, U – мгновенное значение напряжения на конденсаторе. Сила тока J в цепи равна изменению J = dq/dt заряда q конденсатора в единицу времени: Напряжение U на конденсаторе в любой момент времени равно q / C. Из этих соотношений следует

(7.1)

Мы получили дифференциальное уравнение, описывающее процесс зарядки конденсатора. Если конденсатор вначале не был заряжен, то решение этого уравнения имеет вид

(7.2)

где τ = RC – постоянная времени цепи, состоящей из резистора и конденсатора, является характеристикой скорости процесса. При t → ∞, U (t) → . Процесс зарядки конденсатора через резистор изображен на рисунке 7.2 (I).

Если после того, как конденсатор полностью зарядился до напряжения , ключ K перебросить в положение 2, то начнется процесс разрядки. Внешний источник тока в цепи разрядки отсутствует ( = 0). Процесс разрядки описывается выражением U (t) = exp (– t / τ).

Рисунок 7.2. Зарядка (I) и разрядка (II) конденсатора через резистор

Рисунок 7.3. Цепь, содержащая катушку с индуктивностью L, резистор с сопротивлением R и источник тока с ЭДС, равной

Зависимость U (t) в процессе разрядки изображена на рисунке 7.2.(II). Время t = τ, при котором напряжение на конденсаторе уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем релаксации.

Аналогично протекают процессы в цепи, содержащей катушку с индуктивностью L и резистор с сопротивлением R (рисунок 7.3).

Если в цепи, изображенной на рисунке 7.3, ключ K сначала был замкнут, а затем внезапно разомкнут, то начнется процесс установления тока. Следует обратить внимание на то, что в схему последовательно с источником тока включен резистор r с малым сопротивлением, чтобы при замкнутом ключе K батарея не оказалась закороченной. Поскольку r << R, при написании уравнения для процесса установления тока этим сопротивлением можно пренебречь. Этот процесс описывается уравнением

(7.3)

Это уравнение по виду совпадает с уравнением, описывающим зарядку конденсатора, только теперь переменной величиной является сила тока J. Решение этого уравнения имеет вид

(7.4)

где постоянная времени τ = L / R. Аналогичным образом можно получить закон убывания тока в RL -цепи после замыкания ключа K:

(7.5)

Процессы в RC - и RL -цепях аналогичны механическим процессам при движении тела в вязкой жидкости.

Дата добавления: 2014-01-20