Решение. Механические приложения поверхностного интеграла 1 рода

Механические приложения поверхностного интеграла 1 рода

Решение

,

где уравнение поверхности может быть записано в виде:. Поскольку , , а проекцией плоскости в координатную плоскость является треугольник (рис. 6), то

.

Рис. 6.

Статические моменты участка поверхности

Статический момент относительно начала координат:

.

Статические моменты относительно координатных осей:

; ; .

Статические моменты относительно координатных плоскостей:

; ; .

Координаты центра тяжести поверхности

; ; ,

где – масса поверхности .

Моменты инерции поверхности

Момент инерции относительно начала координат:

;

Моменты инерции относительно координатных осей:

; ; .

Моменты инерции относительно координатных плоскостей:

; ; .

Задача

Вычислить координаты центра тяжести однородной поверхности при .

Уравнение задает верхнюю полость конуса. Плоскость вырезает на ней поверхность (рис. 7). Поскольку поверхность однородная и является поверхностью вращения вокруг оси , то центр тяжести лежит на оси , то есть .

Рис. 7.

Аппликата центра тяжести определяется формулой:

,

где – масса поверхности .

Так как поверхность однородная, то плотность можно положить равной 1. Тогда

,

где – площадь поверхности .

Площадь поверхности можно вычислить, используя формулу для боковой поверхности конуса с высотой и радиусом основания и образующей .

.

Учитывая это, вычислим .

,

где – проекция на координатную плоскость .

Поверхность проектируется на плоскость в круг с радиусом 1 (рис. 8).

Рис. 8.

Так как , , то

.

В последнем интеграле перейдем к полярным координатам.

.

Следовательно, центр тяжести имеет координаты: .

Дата добавления: 2014-01-20