Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Изучение нумерации чисел от 21 до 100

Если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.

Если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.

Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.

 


Вопрос 16. Множество целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл нуля. Определение действий с нулем. Невозможность деления на нуль (с обоснованием). Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1.

Присоединим ко множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество – множество целых неотрицательных чисел и обозначается Z0 или N0, т.о. Z0=NÈí0ý. Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого натурального числа, арифметические операции в случае, когда один из компонентов равен 0, определяются равенствами:

(" а Î N) a + 0 = 0 + a; (" а Î N) a – 0 = a

(" а Î N) a • 0 = 0; (" а Î N) 0: a = 0

Кроме того, будем считать, что:

0 + 0 = 0; 0 • 0 = 0; 0 – 0 = 0; а – а = 0.

Теорема: Деление на нуль невозможно.

Доказательство: Пусть а Î N, а в = 0.

1. Если а ≠ 0 и частное а и в существуют, тогда найдется с Î Z0, что а = с • 0, Þ а = 0. Мы пришли к противоречию с условием Þ частное чисел а ≠ 0 и в = 0 не существует.

2. Если а = 0 и частное а = 0 и в = 0 существует, тогда найдется с Î Z0 и выполняется равенство 0 = с • 0, истинное при любых значениях с Þ частное а = 0 и в = 0 может быть любым числом Î Z0, т.е. результат деления определяется не единственным образом, а это невозможно. Поэтому в математике считают, что деление на 0 также невозможно.

Если число а получено в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А), то это же число может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В: а = n(В). Число же «нуль» с теоретико-множественной позиции рассматривается как число элементов пустого множества 0 = n (ø). Привести примеры пустых множеств.

Методика ознакомления учащихся со случаями умножения и деления с 0 и 1 начинается в 3 классе (1–4) с включения в ряд предложенных примеров вида: 0 • 8; 1 • 5; 0 • 18 и т.д. Эти примеры дети решают на основе конкретного смысла умножения путем сложения одинаковых слагаемых, например:

0 • 8 = 0+0+0+0+0+0+0+0 = 0 или 1 • 5 = 1+1+1+1+1 = 5

После этого уже на стр. 64. детям непосредственно предлагается правило умножения числа на единицу, которое звучит так: «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали». Правило вводится дедуктивно. Предлагаются примеры вида: 4 • 1; 32 • 1. Усвоив это правило, дети без труда решают такие примеры: 4 • 1 = 4; 32 • 1 = 32. Далее предлагается задание на сравнение: 1 • 4 … 4 • 1. Выполнив это задание (1 • 4 = 1+1+1+1 = 4 и 4 • 1 = 4) и ряд подобных, дети методом сравнения и, зная правило перестановки множителей, делают вывод, что результат не изменяется в зависимости от того, что единицу умножали на число или число на единицу, результат все равно будет одинаков. Можно предложить обобщение: если один из множителей равен 1, то…?

Далее на стр. 65 вводится следующее правило: «При умножении любого числа на нуль получается нуль». Предлагаются примеры вида: 3 • 0 = 0; 12 • 0 = 0 и т.д., а также задания на сравнения: 33 • 0 … 0 • 33.

Деление на единицу вводится на конкретном примере на стр.67, учитывая правило нахождения частного:8:1 = 8, т.к. 1•8 = 8. На закрепление этого свойства предлагается ряд подобных примеров.

Деление на 0 не рассматривается, т.к. на стр.65 введено запрещающее правило: «Делить на 0 нельзя».

Также (на стр. 68) на конкретном примере показано деление нуля на число: 0: 8 = 0, т.к. 0 • 8 = 0. Дети пользуются этим свойством при дальнейшем решении подобных примеров.

Система закрепляющих упражнений.

1. Найдите значение выражения:

0 • 16 0 • 3 + 1 0 • 5 + 3 • 2

1 • 12 1 • 7 + 5 1 • 8 + (10 – 6)

 

2. Сравнить выражения:

0 • 7 … 7 • 0 1 • 15... 15 • 1 0 • 3... 3 • 1

12 • 1 … 1 • 3 • 4 2 • 3... 6 • 1 7 • 1... (2 • 2 + 3) • 1

 

3. Разбить на столбики и объяснить принцип разбиения:

0: 3, 15: 1, 15 • 0, (12 – 6) • 0, (3 • 4 + 3), (3 +7) • 1, 3 • 0, 1 • 15

 

4. Соедини стрелочками пример и ответ:

17 • 1 + 3 • 0 12

(43 + 0) • 1 + 3 77

9 +2 • 7 • 1 17

14 • 0 + 14 • 1 14

3 • 2 • 0 + (17 – 5) 46

 

5. Вычисли с устным объяснением:

1 • 15 = 151 • 27 = ™

15: 15 = ™ 27: 27 = ™

15: 1 = ™ 27: 1 = ™


6. Вставь в окошко число так, чтобы равенство было верным:

™ • 12 = 0 ™: 9 = 1 25: ™ = 25

™ • 12 = 12 ™: 9 = 0 25: ™ = 1

 

7. Найти значения выражений:

а • 9 и 36: а, если а = 1, а = 0

 

8. Вставь вместо * нужный знак:

0 * 7 = 7 5 * 0 = 0 9 * 1 = 9 0 * 3 = 0 17 * 0 = 17

 

9. Составь все возможные равенства, используя числа 0, 1, 12 и знак деления (числа могут повторяться).

 

10. Составь задачу, чтобы она решалась так: 28: 28 = 1.

 


Вопрос 17. Свойства сложения натуральных чисел, их назначение. Теоретико-множественный смысл этих свойств. Методика изучения свойств сложения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов сложения чисел.

Сложение как алгебраическая операция обладает такими свойствами как ассоциативность и коммутативность:

  1. "(а,b,cÎN): (a+b)+c=a+(b+c)
  2. "(а,bÎN): a+b=a+b

С точки зрения теоретико-множественных позиций коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство: АÈВ=ВÈА.

Действительно, если а=n(A), b=n(b) и АÇВ=Æ, то а+b=n(АÈВ)=n(ВÈА)=b+a

по опр. сложения

 

Ассоциативность рассматривается аналогично. Пусть а=n(A), b=n(b), c=n(C) и АÇВÇC=Æ, то (а+b)+c= n(АÈВ)+n(C)=n((АÈВ)ÈC)=n(АÈ(ВÈC))=n(A)+n(BÈC)=a+(b+c)

по ассоциативности операции объединения множеств

Оба свойства обобщаются на сложение нескольких слагаемых: коммутативность означает, что при любой перестановке слагаемых сумма не изменяется. Например: 2+6+11=6+2+11=11+2+6=2+11+6=6+11+2

Ассоциативность сложения нескольких слагаемых означает, что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка). Например: ((3+6)+5)+8=(3+6)+(5+8)=3+(6+(5+8))

В начальном курсе математики изучаются оба свойства. Коммутативность носит название переместительного закона. Ассоциативность в явном виде не изучается, но используется вместе с коммутативностью при изучении правил прибавления числа к сумме и суммы к числу.

 


Вопрос 18. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения правил вычитания в начальном курсе математики, их использование для устных приемов вычитания чисел.

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: a–b=c тогда и только тогда, когда b+c=a. Число a–b – разность чисел а и b, число а – уменьшаемое, b – вычитаемое. Если уменьшаемое или вычитаемое представлено суммой двух чисел, то для того, чтобы правильно вычесть число из суммы чисел или сумму чисел из числа, необходимо знать и пользоваться следующими теоремами:

1. Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>c, то (a+b)–c=(a–c)+b. Если b>c, то (a+b)–c=a+(b–c). Если a>c и b>c, то можно использовать любую из данных формул.

2. Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>d+c, то a–(b+c)=(a–b)–c или a–(b+c)=(a–c)+b

Этим теоремам соответствуют правила:

1. Для того, чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого этой суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

2. Для того, чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

           
 
А
 
   
AB
 
   
В

 

 

С теоретико-множественной точки зрения разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества B до множества А, если а=n(A), b=n(B) и ВÌА: a–b=n(A)–n(B)=n(AB), если ВÌА. Взаимосвязь вычитания чисел позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

А
       
 
С
 
   
В

 

 

Рассмотрим правило вычитания числа из суммы [(a+b)–c]. Пусть а, b и с – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и АÇВ=Æ, СÌА. Для данных множеств А, В и С имеет место равенство: (AÈB)C=(AC)ÈВ. Но n((AÈВ)С)=n(AÈВ)–n(C)=(a+b)–c, а n((AC)ÈВ)=n(AC)+n(B)=(a–c)+b. Следовательно, (a+b)–c=(a–c)+b. Правило вычитания суммы из числа [a–(b+c)] рассматривается аналогично.

 

В учебнике М.И. Моро 2 класса правила вычитания не формулируются. Они представлены в неявном виде:

36– 2 = (30+6) – 2=30 + (6 – 2) Единицы вычитают из единиц.

36-20 = (30+6) –20=(30 – 20) + 6 Десятки вычитают из десятков.

60-24 = 60-(20+4)=(60 – 20) – 4

Эти правила используются для удобства вычислений.

В учебнике Н.Б. Истоминой эти правила формулируются. Они вводятся дедуктивно и на их основе выполняются практические упражнения.

Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычислительных приёмов. Введению свойства вычитания числа из суммы должна предшествовать подготовит. работа, в результате которой уч-ся знакомятся с матем. выражениями "сумма чисел","разность чисел", учатся читать и записывать выражения со скобками, заменять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных слагаемых. Эти вопросы вводятся при изучении сложения и вычитания чисел в приделах 10 и нумерации чисел в пределах 100. Изучение св-в строится по плану: сначала, используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого св-ва, затем научить детей применять их при выполнении разл, упражнений учеб. хар-ра и, наконец, научить, пользуясь знанием св-ва, находить рациональные приемы вычисления с учетом особенностей каждого конкретного случая. Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей со св-вом вычитания числа из суммы.

Раскрывая суть св-ва, надо показать детям, что вычесть число из суммы можно различными способами: можно сначала вычесть это число из первого слагаемого, а затем к полученному рез-ту прибавить 2е слагаемое. А можно из 2 слагаемого вычесть число и к полученному рез-ту прибавить 1е слагаемое. Или найти значение суммы, и из полученного рез-та вычесть число. Учитель пишет на доске: (5+3)-2. Прочит. пример. Назовите сумму. Назовите 1 слаг. этой суммы. Второе слаг. Назовите число, которое надо вычесть из этой суммы. Как найти рез-т. На доске: (5+3)-2=6. При раскрытии св-в можно испол. и др. наглядные пособия: на тарелке раскладывать фрукты, в конверты вкладывать открытки и т.п.

На сл. уроке одновременно с исп. нагл. пособий выполняют развернутую запись (учитель на доске, учащийся в тетради). Выполнение каждой записи учащийся сопровождает объяснением. Закрепление св-в, которые дети формулируют в виде правил, происходит в рез-те применения при выполнении спец. упр.:

1. Прочитай пример и вычисли рез-т разн. способами: (6+1)-2.

2. Найди рез-т удобным способом: (4+6)-1; (20+3)-10; (6+30)-20.

3. Закончи запись: (8+7)-2=(8-2)…; (40+7)-5=(7-5)…; (10+3)-3=(…)+10.

Как только учащиеся освоят св-во вычитания числа из суммы, вводятся одновременно приемы для случаев: 57-30 и 57-3; а несколько позднее- прием для случая 60-3. В кач-ве подготовки учащимся предлагается решить удобным способом примеры вида: (60+8)-50 и (60+8)-5. Выполняя такие задания, ученики замечают, что удобнее единицы вычитать из ед., а десятки из десятков. Новые приемы для случаев 57-30 и 57-3 раскрываются примерно так: учащиеся должны под руководством учителя, но с большой долей самостоятельности дать пояснение в соответствии с раннее данным планом. 1) Заменю; 2) Получится пример; 3) Удобнее. Случай 60-3 отличается от предыд. тем, что здесь уменьшаемое явл. разрядным числом и его нельзя заменить суммой его разрядных слаг-ых. Находя рез-т, удобнее уменьшаемое заменить суммой таких 2х слаг-ых, одно из которых 10. Такие слаг-ые наз. "удобными". Чтобы научить детей выделять такие удобные слагаемые можно использовать спец. упр.:

1. Замените число суммой по образцу:30=20+10; 40=…+10; 90=…+10; 50=…+10.

2. Решите удобным способом (50+10)-7; (90+10)-3.

При ознакомлении с приёмом исп. пучки палочек (один пучок развязывают). Св-во вычит. суммы из числа изучается по той же мет-ке.

Как только будут усвоены вычислит. приёмы, необх. проводить раб. по формированию вычисл. навыков.

1 стадия. Уч-ся сам-но выполняют все развёрнутые записи, комментируя вслух.

2 стадия. Частичное свёртыв. Сворачив-ся вспомог-ые операции. Вслух проговариваются только основные операции.

3 стадия. Полное свёртывание. Уч-ся про себя выделяют и вып-ют все основные операции. Происходит свёртывание основных операций.

4 стадия. Уч-ся вып-ют все операции в свёрнутом виде предельно быстро.

 

 


Вопрос 19. Правила деления суммы на число и произведения на число, их теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения этих правил деления в начальном курсе математики и их использование для устных приемов деления чисел.

Опр. Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a: b = с тогда и только тогда, когда b • c = a. Число a: b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b –делителем.

Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b≤a. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы и произведения на число.

Для того чтобы определить правило деления суммы на число, необходимо рассмотреть следующую теорему:Если числа а и b делятся на число с, то и сумма а+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а+b на число с равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, то есть (а+b):с=а:с + b:с. На основе этой теоремы сформулируем правило деления суммы на число: Для того, чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Аналогично рассматривается правило деления произведения на число.

Теорема: Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение a•b делится на с. При этом частное, получаемое при делении а на с и числа b равно: (а•b):с = (а:с) • b. Правило деления произведения на число: Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число.

Если частное а:с и b:с существуют, то (а+b):с = а:с + b:с. Пусть а = n(А) и b = n(B), причем АÇВ=Æ. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое разбиение. Если при этом множество А состоит из а:с подмножеств, а множество В из b:с подмножеств, то АÈВ состоит из а:с + b:с подмножеств. Это значит, что:

(а+b):с = а:с + b:с

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассматривается как число равночисленных подмножеств в разбиении множеств А и В.

Знакомство со свойством деления суммы на число происходит в 3 классе (1–4). Методика знакомства такова. Учитель дает пример (6+4):2 и предлагает решить его. Дети вычисляют сумму и делят на число. Затем учитель предлагает решить пример другим способом (для этого он использует рисунок). Дети, опираясь на графическую модель, делят на число каждое слагаемое и полеченные результаты складывают:

(6+4):2=6:2+4:2=3+2=5

Далее даются следующие упражнения на закрепление:


1.Сделай рисунок и реши двумя способами.

(6+3):3

2.Вычисли с устным объяснением:

(11+13):6

(80+16):4

(30+21):3

3.Составь задачу по выражению:

(20+30):5

Объясни разными способами ее решения.

4.Замени числа 60 и 75 суммой двух слагаемых, каждое их которых делится на 5.

5.Выполни действия в указанном порядке:

(62+18):8

(36+27):9

(46+16):7

 

 


 

Свойство деления произведения на число вводится в 4 классе. Но после знакомства детей со свойством деления суммы на число можно познакомить детей со свойством деления произведения на число.

В этом случае можно предложить детям ситуацию: заменить в выражении знак сложения на знак умножения и вычислить: (4+6):2 (4•6):2=24:2=12 (дети перемножают числа в скобках, и полученный результат делят на 2). Затем можно предложить детям решить другим способом. У них может получится: (4+6):2= 4:2+6:2=2+3=5. Получились разные ответы. Почему? В чем ошибка? Какое действие потеряли? Учитель подводит детей к выводу: второй способ решения таков: разделить один из множителей на число и умножить полученный результат на второй множитель то есть: (4+6):2=4:2•6=2•6=12 или (4+6):2= 6:2•4=3•4=12.

Далее даются упражнения для закрепления:


1. Найди значение выражения двумя способами

(8•6):2

2. Вычисли произведение и раздели полученный результат на число:

(3•9):3

3. Раздели на число один из множителей, а потом полученное число умножь на другой множитель(18•4):2

4. Выполни действия в указанном порядке:

(6•7):3

(5•9):3

(10•4):2

Какие примеры можно решить двумя способами? Почему?

5. Составь задачу по выражению:

(14•6):3


В начальном курсе математики приемы устного деления используются при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное. В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит св-во деления суммы на число. Однако методика формирования вычислительных умений может быть различной.

1 ПОДХОД


В учебнике М2М выделяются 3 случая деления двузначного числа на однозначное и каждый из них отрабатывается отдельно:

1) 46: 2, 96: 3

2) 36: 2, 65: 5

3) 70: 2, 96: 4

 

Для каждого случая дается образец действия:

1) 46: 2 = (40 + 6): 2 = 40: 2 + 6: 2 = 20 + 3 = 23

2) 36: 2 = (20 + 16): 2 = 20: 2 + 16: 2 = 10 + 8 = 18

3) 96: 4 = (80 + 16): 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Ориентируясь на образец, уч-ся выполняют тренировочные упражнения, в процессе которых закрепляются определенные способы действия.


 

В 1-ом случае делимое представляется в виде суммы разрядных слагаемых и затем используется св-во деления суммы на число.

Во 2-ом случае делимое представляется в виде суммы «удобных слагаемых». В кач-ве одного из таких слагаемых, выделяются разрядные десятки, которые дети умеют делить на данное число.

В 3-ем случае в качестве одного из слагаемых выступает наибольшее число разрядных десятков, которые делятся на данный делитель.

2 ПОДХОД

Учебник М2И сориентирован на формирование общего способа действия, (т.е. делимое представляется в виде суммы 2-х слагаемых, каждое из которых делится на данное число) и на осознание его частных вариантов.

Задания:


1) вычисли значение выражения 52: 4

Миша: я думаю, нужно представить 52 в виде суммы 2-х слагаемых, которые делятся на 4 и полученные результаты сложить:

(28 + 24): 4 = 28: 4 + 24: 4 = 7 + 6 = 13

какие еще выражения можно составить?

2) догадайся, как рассуждал Миша, вычисляя значение выражения:

72: 6 = (60 + 12): 6 =...

84: 7 = (70 + 14): 7 =...

чем похожи выражения в скобках?

3) какие числа надо вставить в Š, чтобы получились верные равенства:

(30 + Š): 3 = 30: 3 + Š: 3

4) запиши выражение в виде частного 2-х чисел и найди значение: (80+4): 4;

5) на какие группы можно разбить все выражения:

64: 8 36: 2 48: 8

48: 4 48: 3 36: 9

36: 3 64: 2 64: 4

При делении двузначных чисел на двузначное число уч-ся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.


 

Не хватает итогов!


Вопрос 20. Определение деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Знакомство с понятием «деление с остатком» в начальном курсе математики. Обучение младших школьников приемам деления с остатком.

Число 37 не делится нацело на 8. Но существуют числа 4 и 5 такие, что 37 = 8 • 4 + 5. Говорят, что деление числа 37 на 8 выполнено с остатком, при этом найдено неполное частное 4 и остаток 5.

Опр. Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число в – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а=вq+r и 0 £ r< в. Из определения вытекает, что остаток есть натуральное число, меньшее делителя в, поэтому при делении целых неотрицательных чисел на в может получиться всего в различных остатков: 0;1;2;3;…в–1. Например, при делении с остатком целых неотрицательных чисел на 5 возможны остатки: 0; 1; 2; 3; 4. Если а < в, то при делении а на в с остатком неполное частное q = 0, а остаток r = а, т.е. q = 0 • в + а.

Теорема. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа в существуют целые неотрицательные числа q и r,такие, что а = вq + r, причем 0 £ r< в. Пара целых неотрицательных чисел (q; r), обладающая этим свойством, единственная. Эта теорема отвечает на вопрос: «Всегда ли можно выполнить деление а на в с остатком?».

Теоретико-множественный смысл деления с остатком заключается в следующем: пусть а = n (A) и множество А разбито на подмножества А1; А2;…Аn…Х так, что множества А1; А2;…Аn равномощны и содержат по в элементов, а множество х содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А1; А2; …An,например n(x) = r. Тогда а = вq + r, где 0 £ r< в. Т.о. неполное частное q – это число равномощных подмножеств (в каждом из которых в элементов) в разбиении множества А, а остаток r – это число элементов во множестве Х. Теоретико-множественный смысл деления с остатком можно рассмотреть на примере задачи: «У учительницы было 9 мячей. Она раздала по 2 мяча каждому ученику. Сколько детей получило мячи и сколько мячей осталось?». 9: 2 = 4 (ост. 1). В этой задаче речь идет о множестве мячей с численностью n(A) = 9, которое разбито на подмножества по 2 элемента в каждом. Тогда 4 – это количество таких равномощных подмножеств. Кроме этого в разбиении получилось некоторое множество с численностью 1 меньше 2.

Данный вопрос изучается в традиционной образовательной системе 1-4 в 3 классе. Программой на это отведено 10 часов. Рассматриваются такие вопросы:

1) Понятие деления с остатком.

2) Величина остатка.

3) Подбор частного.

4) Подбор делителя.

5) Подбор делимого.

Учитель организует деятельность учащихся, направленную на усвоение понятия «деления с остатком». Для разъяснения смысла этого и знакомства учащихся с новой формой записи используется простая задача: «11 флажков раздали детям по 2 флажка каждому. Сколько детей получили флажки, и сколько флажков осталось?». OO OO OO OO OO O. Решение задачи можно записать так: 11:2=5 (ост. 1). При введении понятия «деление с остатком» наряду с упражнениями в учебнике можно выполнять и такие:


1) объясни запись:

17: 3 = 5 (ост. 2)

15: 4 = 3 (ост. 3)

9: 2 = 4 (ост. 1)

2) выполни деление, сделав рисунок:

12: 12

23: 11

3) сравни и реши примеры каждой пары:

66: 11 75: 25

69: 11 80: 25

4) запиши число, при делении которого на 33 получится остаток 1.

 


 

В курсе начальной школы деление с остатком обычно рассматривается для случая, когда делимое больше делителя. Для закрепления смысла деления с остатком и новой формы записи учащимся предлагаются задания на соотнесение рисунка и математической записи.

Например:

1) 7: 3 = 2 (ост. 1) 2) 12: 5 = 2 (ост. 2) 3) 10: 3 = 3 (ост. 1) 4) 11: 2 = 5 (ост. 1) 1) QQQ QQQ Q 2) TT TT TT TT TT T 3) (((((((((( 4) &&&&& &&&&& &&  

В процессе выполнения этих заданий их внимание обращается на остатки, которые получаются при делении различных чисел на данное число. После этого формулируется условие выполнения деления с остатком. А именно: остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

Для усвоения свойства остатка можно выполнять такие задания:

1) Назови возможные остатки при делении на 2; 8; 21;

2) При делении нескольких чисел на одно и то же число получились остатки: 9; 1; 2; 3; 4; 5;. Как ты думаешь, на какое число производили деление?

3) Правильно ли выполнено деление? Если неправильно, то подумай, как можно исправить ошибку. Запиши правильное решение:

: 12 = 22 (ост. 17)

: 21 = 1 (ост. 46)

Основным способом действия при делении с остатком является подбор делимого, которое без остатка делится на данное число. Образец способа действия разъясняется на конкретном примере: 23: 4.

23 не делится на 4 без остатка. Самое большое число до 23, которое делится на 4 без остатка, это 20. Разделим 20 на 4, получится частное 5. Вычтем 20 из 23, получится остаток 3. 24: 4 = 5 (ост. 3). (3 < 4).

В качестве закрепляющих упражнений можно использовать:

1) Найди делимое

: 17 = 3 (ост. 15)

: 5 = 15 (ост. 4)

: 82 = 0 (ост. 5)

 

2) Можно ли разделить 36 на 6 с остатком?

 

3) Выполни деление:

(15 + 13): 7

(24 • 3 – 50): 20

 

4) Какие цифры можно записать в окошке так, чтобы получилось верное равенство

5: 7 = 8 (ост. 3)

4: 6 = 7 (ост. )

6:  = 9 (ост. )

 

5) Из ряда чисел 2; 3; 5; 7; 11; 17; 19; 39; выбери делимое, делитель, частное и остаток.

Все эти задания рационально включать в устный счет. (Сначала предложить сильным учащимся, а затем и для всего класса.)

Итог:

1. Приведенные задания доступны для учащихся.

2. Вызывают интерес не только к результату деятельности, что имеет большое значение для формирования интереса к математике.

3. Задания положительно влияют на развитие учащихся и способствуют формированию одного из ведущих качеств математического стиля мышления – гибкости.

 

 


Вопрос 21. Свойства умножения натуральных чисел, их назначение и теоретико-множественная интерпретация. Методика изучения свойств умножения в начальном курсе математики. Использование этих свойств при формировании устных приемов умножения чисел.

С теоретико-множественной точки зрения произведение a•b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств A и B, таких, что n(A)=a, n(B)=b. a•b=n(A)•n(B)=n(A´B)

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоретико-множественный смысл свойств умножения: коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности относительно сложения и вычитания:

1. a•b=b•a, n(A´B)=n(B´A)

2. a•(b•c)=(a•b)•c, n(A´(B´C))=n((A´B)´C)

3. a•(b+c)=a•b+a•c, n(A´(BC))=n((A´B)(A´C))

4. a•(b-c)=a•b-a•c, n(A´(BC))=n((A´B)(A´C))

Анализируя действия над числами, можно сделать вывод: при действии умножения над числами участвуют операции над множествами.

Каково назначение свойств умножения?

В курсе математики для начальной школы нашли отражение все свойства умножения: коммутативное (переместительное), ассоциативное (сочетательное) и дистрибутивное левое и правое (распределительное).

К коммутативности умножения можно подвести детей, используя прием аналогии (повторить свойство сложения и попробовать это же свойство для умножения):

3+2=5 2+4=6 7+3=10 3•2=6 2•4=8 7•3=21

2+3=5 4+2=6 3+7=10 2•3=6 4•2=8 3•7=21

Замени сложение умножением (суммой одинаковых слагаемых) и вычисли результат. Сравни полученные результаты в парах. Какой вывод можно сделать? Дети делают вывод: от перестановки множителей значение произведения не меняется.

Изучение других свойств умножения проходит индуктивно. В программе М. И. Моро при изучении предлагаются различные способы вычислений, анализируя которые дети приходят к выводам. В программе Н. Б. Истоминой предложен другой вариант изучения: учащиеся усваивают свойства умножения в процессе выполнения заданий и анализируя графические модели. Делать комментарии по страницам учебников.

Для выполнения устного умножения учащиеся используют различные вычислительные приемы, что предполагает усвоение нумерации в пределах 100, табличных случаев умножения, знание переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения. В начальном курсе математики приемы устного умножения используются при умножении двузначного числа на однозначное. Основным способом знакомства с вычислительным приемом является показ образца действий и его закрепление в процессе выполнения тренировочных упражнений (в учебниках М. И. Моро).

Но есть и другой подход (Н. Б. Истомина): детям предлагается вычислить произведение 13•7.

Маша вычисляла так: 6•7+7•7=42+49=91, Миша – так: 10•7+3•7=70+21=91. Объясни, как рассуждали Миша и Маша. Попробуй рассуждать так же, вычисляя значения произведений:

16•6 12•6 14•5 15•3

После этого задания выполняются тренировочные упражнения, дается правило (как формулируется правило в программе Истоминой Н.Б.?): при умножении двузначного числа на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения.

По каждому свойству рассмотреть соответствующие страницы учебников Моро и Истоминой.

 


Вопрос 22. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел, записанных в этой системе. Методика изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона.

Система счисления это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого знаком в записи числа. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления.

В римской системе счисления используются следующие символы:


· I - один

· V - пять

· X - десять

· L - пятьдесят

· C - сто

· D - пятьсот

· M - тысяча

· m (mille) - тысяча

· Mm – миллион


Правила записи чисел в римской системе счисления:

1. Каждый символ может быть использован не более трёх раз.

2. Символ меньшего значения, стоящий перед символом большего значения, может использоваться только один раз и уменьшает его значение.

3. Символ, стоящий справа, увеличивает значение.

Для позиционных систем счисления характерны понятия «разряд» и «класс», а также понятие основания системы счисления.

Основание системы счисления – это число, обозначающее, сколько единиц высшего разряда образуют одну единицу следующего разряда. Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число р≥2. Для записи чисел в системе счисления с основанием р необходимо p символов.

Записью натурального числа в системе счисления с основанием р называется его представление в виде х= аnpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0, где коэффициенты аn, an-1, … a1,a0 принимают значение 0,1, 2…,р-1 и аn≠ 0.

Так как понятия числа и его записи нетождественны, то существование и единственность записи числа надо доказывать.

Теорема: Пусть р≥2 – заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо и притом единственным образом в виде х= аnpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0.

Примером позиционной системы счисления может служить десятичная система счисления (ДСС), которая наиболее распространена. Она основана на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах, возникла в Индии в VI веке. В ДСС основанием системы счисления является число 10. Для записи чисел в ДСС используется 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичной записью натурального числа называется его представление в виде х= аn10n + an-110n-1 + … + a110 + a0, где коэффициенты аn,an-1, … a1,a0 принимают значение 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и аn≠ 0.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из чисел меньше.

Теорема: Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в ДСС.

х= аm10n + an-110n-1 + … + a110 + a0

у= аm10m + am-110m-1 + … + a110 + a0

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

1. n<m

2. n=m, но an, bm

3. n=m, an= bm, …, ak=bk, но ak-1<bk-1

Например: х=3456, у=3467; х<у, так как число тысяч и сотен одинаковое, но в числе х десятков меньше.

В ДСС всем числам можно дать имя. Имеются названия первых десяти чисел; затем из них в соответствии с определением десятичной записи числа и путем прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел.

Например: название чисел второго десятка образуются из соединения первых девяти названий и измененного слова «десять»

Для того, чтобы назвать все числа в пределах миллиарда, нужно знать16 слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард.

Данный вопрос изучается в начальной школе в теме «Нумерация».

В изучении нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона выделяются 2 этапа: изучение устной нумерации и изучение письменной нумерации. Методики изучения нумерации в пределах сотни, тысячи и миллиона сходны, так как нумерация этих чисел опирается на группирование единиц десятками при счете.

В изучении нумерации сотни выделяются 2 этапа:

· нумерация чисел от 11 до 20

· нумерация чисел от 21 до 100

Изучение нумерации чисел с 11 до 20.

Изучение устной нумерации начинается с формирования у детей понятия о десятке (отсчет по 10 палочек). Затем, выполняя упражнения в счете десятков палочек, дети убеждаются, что десятки, так же, как и единицы, можно считать, складывать и вычитать (используется прием аналогии).

Например: 2+3=5, 2 дес. + 3 дес. = 5 дес.

Далее рассматривается образование чисел от 11 до 20 из десятков и единиц и поясняются их названия, дается этимология названий чисел.

Можно использовать такие виды закрепляющих упражнений:

· Отсчитай 15 палочек, узнай, сколько это десятков и единиц.

· Возьми 1 десяток палочек и еще 4 палочки. Сколько палочек ты взял?

· Сколько десятков и единиц в числе 17?

· Какое число состоит из 1 десятка и 9 единиц?

Необходимо добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двузначное число.

При изучении письменной нумерации, чтобы раскрыть принцип записи двузначных чисел, используют абак. Переходя к обозначению чисел, выясняют десятичный состав числа и, опираясь на него, записывают цифрами, сколько в числе десятков и сколько единиц. Сразу же закрепляют полученные знания о принципе записи двузначных чисел:

· Что обозначает цифра 7, что обозначает цифра 1? (в числе 17)

При изучении устной нумерации на основе счета десятков раскрываются образование и название чисел 20, 30 и т.д., а затем, на основе счета десятков и единиц, образование и название чисел вида 24 (2 дес. и 4 ед.), 57 (5 дес. и 7 ед.). В названии чисел появляются новые слова: сорок, девяносто.

Усвоению десятичного состава числа способствуют упражнения в образовании и замене чисел суммой разрядных слагаемых:

· Какое число составляет 5 дес и 7 ед.? (57)

· Сколько десятков и единиц в числе 62 (6 дес и 2 ед.)

Также можно использовать прием наглядной интерпретации, обозначив десятки треугольниками, а единицы кругами.

Например: OOO ΔΔΔΔ (34) ΔΔΔΔΔΔ ‰‰‰‰‰‰‰‰‰ (69)

Можно использовать карточки, например:

      Дес. Ед.
   

С целью систематизации знаний полезно в конце работы над темой включать задания по характеристике заданных чисел.

Изучение нумерации в пределах тысячи и миллиона проходит аналогично изучению нумерации в пределах сотни на втором этапе, используются аналогичные приемы и закрепляющие упражнения.

Подготовительную работу целесообразно начинать заранее, систематически включая устные упражнения на знание соотношения известных им разрядных единиц, о десятичном составе чисел, последовательности чисел, о принципах записи чисел вида:

· Сколько единиц в сотне? Во сколько раз десяток больше единицы?

· Какое число состоит из 5 дес и 7 единиц? Какое число состоит из 7 сотен и 5 дес?

· Какое число следует при счете за числом 85? Какое число следует при счете за числом 139?

При изучении нумерации в пределах 1000 под руководством учителя учащиеся устанавливают и записывают соотношения между разрядными единицами: 10 ед=1 дес, 10 дес=1сот. В названии чисел используется новое для ребят слово: сто.

У детей может сложиться неправильное представление о натуральной последовательности чисел за пределами сотни (после числа 100 сразу число 200). Чтобы избежать этого, следует включать упражнения в счете предметов и в присчитывании по одному. При изучении письменной нумерации знание о натуральной последовательности чисел закрепляют, предлагая письменные упражнения на установление предыдущего и следующего числа (примеры вида а+1).

Нумерация чисел в пределах миллиона имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются и записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Учителю необходимо раскрыть это важное понятие ДСС, а также сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице II класса.

В названии чисел появляются новые слова: тысяча, миллион.

Для усвоения структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в нумерационную таблицу или записывают в нее числа, которые называет учитель.

Для этого можно использовать следующую систему упражнений:

 


1. Прочитай числа, записанные в таблице. На каком месте, считая справа налево, пишут единицы? Десятки? Сотни?

Сотни Десятки Единицы
Единицы 3 разряда Единицы 2 разряда Единицы 1 разряда
     

2. Запиши и прочитай число, в котором:

1) 5 единиц третьего разряда, 0 единиц второго разряда, 6 единиц первого разряда.

2) 1 единица третьего разряда, а единиц второго и первого разрядов нет.

3. Рассмотри таблицу:

II класс – класс тысяч I класс – класс единиц
Сотни тысяч Десятки тысяч Единицы тысяч Сотни Десятки Единицы
           

1) Единицы каких разрядов составляют первый класс? Второй класс?

2) Сколько разрядов в каждом классе?

4. Сколько единиц каждого разряда в числах: 967 тысяч? 609 тысяч? 90 тысяч? 76 тысяч?

5. Рассмотри таблицу:

II класс – класс тысяч I класс – класс единиц
Сотни тысяч Десятки тысяч Единицы тысяч Сотни Десятки Единицы
           

Скажи, сколько единиц второго класса содержат числа, записанные в таблице? Прочитай эти числа.

6. Замени число суммой разрядных слагаемых:

205=+ 

205 000= +

640=  + 

640 000 =  + 

7. Запиши и прочитай числа, в которых:

5 сотен 9 единиц

5 сотен тысяч 9 единиц тысяч

8. Сколько единиц второго и первого классов в каждом числе, записанном в таблице?

9. Запиши и прочитай числа, в которых:

· 30 единиц второго класса и 870 единиц первого класса;

· 8 единиц второго класса и 600 единиц первого класса;

· 4 единицы второго класса и 0 единиц первого класса.

10. Запиши числа цифрами:

“Наименьшее расстояние от Земли до Луны составляет триста пятьдесят шесть тысяч четыреста десять километров, а наибольшее – четыреста шесть тысяч семьсот сорок километров”

11. Что обозначает каждая цифра в записи числа 140 401? 308 000? 70 050?

12. Запишите с помощью цифр 9 и 0 одно пятизначное число и одно шестизначное.

13. Спиши, заполняя пропуски:

1 тысяча =  сотен 3 тысячи =  сотен

1 сотня =  десятков. 1 сотня =  десятков

Значит: Значит:

1 тысяча =  десятков 3 тысячи =  десятков.

14. Запиши числа: 378, 6 517, 85 742, 375 264. Сколько в каждом из них всего десятков? (Подчеркни) Сколько всего сотен?

15. Рассмотри числа: 3 84 9, 56 0 18, 370 843. Какое из подчеркнутых чисел показывает, сколько всего десятков в числе? Сотен? Тысяч?

16. Запиши числа, которые содержат:

· 40 тысяч 60 единиц

· 40 тысяч 6 единиц

· 100 тысяч 1 единица

· 101 тысяча 10 единиц

· 9 тысяч 9 единиц

· 9 тысяч 90 единиц

17. Сколько единиц каждого разряда в числе 395 028? В числе 602 003? Сколько единиц каждого класса в этих числах?

18. Сколько нулей надо записать после цифры 1, чтобы она обозначала сотню? десяток тысяч? Сотню тысяч?

19. Проверь, верны ли неравенства:

5 312 < 5 320

900 001 > 901 000

20. Запиши 6 четырехзначных чисел, используя каждый раз все данные цифры: 3, 7, 0, 8. Что обозначает цифра 7 в записи этих чисел?

21. Используя цифру 7, запиши однозначные, двузначные, трехзначные, четырехзначные числа.


 


Вопрос 23. Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного сложения. Формирование навыков письменного сложения.

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу сложения однозначных чисел.

Смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения проходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

           
           
           
+

Представим слагаемые 7238 и 341 в виде суммы степеней десяти. 7238+341= (7•103 +2•102+3•10+8)+(3•102+4•10+1). Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 7•103+2•102+3•10+8+3•102+4•10+1. На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7•103+3•102+2•102+4•10+3•10+1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7•103+(3•102+2•102)+ (4•10+3•10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой скобке число 102, а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7•103+(3+2)•102+(4+3)•10 +(1+8). Сложение данных чисел 7238 и 341 свелось к сложению однозначных чисел. Таким образом, в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, можно сформулировать в виде алгоритмического предписания:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде а00 =1•10+с0, где со – однозначное число; Записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и так далее.

Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов.

Приступая к изучению письменного приема сложения, учитель ставит перед собой следующие задачи:

1) познакомить учащихся с приемом письменного сложения

2) научить применять приемы письменных вычислений.

3) Сформировать прочные умения (навыки) применения приемов.

Исходя из теоретических фактов, лежащих в основе алгоритма письменного сложения, мы определяем необходимый минимум ЗУН для изучения этого материала.

1. Знание нумерации.

2. Сложение в пределах 20.

3. Алгоритм сложения.

4. Правила сложения разрядных чисел.

Данный раздел изучается по программе Моро М.И.(М2М) начиная с концентра 100, где рассматриваются следующие случаи:

+         +           +        
                         
                               

1. Сначала даются упражнения на сложение чисел без перехода через разряд.

2. Затем рассматриваются случаи, когда при сложении разрядных единиц получается число, равное 10 единицам, или при сложении разрядных десятков – число, равное 10 десяткам.

3. Когда при сложении разрядных десятков получается число, большее 10 десятков.

4. Когда при сложении разрядных единиц получается число, большее 10 единиц и при сложении десятков – большее 10 десятков. Требуется уточнение случаев!

 

В программе Истоминой Н.Б. (М2И) учащиеся знакомятся с алгоритмом письменного сложения после того, как они усвоят нумерацию чисел в пределах миллиона. При этом их деятельность направлена не на отработку частных случаев сложения, а на осознание тех операций, которые входят в алгоритм. (Маловато!)

Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.

Вычислительное умение - это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством. М.И. Бантова выделила 4 этапа формирования вычислительных умений. (Это не этапы формирования, а методика ознакомления с приёмом!)

1. Подготовка к введению нового приема. На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией, составляющей прием.

2. Ознакомление с вычислительным приемом. Учащиеся усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка. Учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т.е. овладеть навыком.

4. Решающая роль упражнений.

Н.В. Зотова предлагает работу по предупреждению ошибок при выполнении письменного приема сложения. Освоив арифметическое действие сложение, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если посвятить на уроке время конструированию «Справочника ошибкоопасных мест».

На 1 этапе учащимся предлагается подумать какие ошибки можно допустить при списывании математического выражения. Например.

1. Замена арифметических знаков.

2. ошибки в записи чисел 2567 вместо 2657

3. пропуск цифры.

4. запись лишней цифры..

5. замена цифр 2557 вместо 2567.

На втором этапе учащиеся анализируют примеры на сложение многозначных чисел.

Модели ошибок:

1. ошибка в записи чисел в столбик.

2. Ошибка в постановке знака.

3. Знак +, а ученик вычитает.

4. Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда.

5. неправильно определили количество цифр в сумме.

6. Допустили ошибки при сложении чисел в пределах 10 или с переходом через 10.

После этого можно предложить детям самостоятельную работу.

Задание 1. исправь ошибки:

+               +                  
                               
                                   

 

Задание 2.Объясни решение.

+               +                  
                               
                                   

 

Задание 3. Придумай задание с «ловушкой» для своего соседа.

Эффективность данной работы во многом будет зависеть:

1. от того насколько сам учитель будет готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок;

2. от того, насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель – как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений.

 


Вопрос 24. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного вычитания. Формирование навыков письменного вычитания.

Алгоритм – это одно из фундаментальных понятий, которое используется в различных областях знания (в математике и информатике). Алгоритм – это программа действий для решения задач определенного типа.

Вычитание однозначного числа в из однозначного или двузначного числа а, непревышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что в+с=а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел. Если же числа а и в многозначные и в < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Рассмотрим возникновение этого алгоритма и теоретические факты, лежащие в его основе на примере разности чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в 10 ой системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231=(4•102+8•10+5)-(2•102+3•10+1). Чтобы вычесть из числа 4•102+8•10+5 сумму 2•102+3•10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (4•102+8•10+5)-(2•102+3•10+1) = (4•102+8•10+5)-2•102-3•10-1. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2•102 вычтем из слагаемого 4•102,число 3•10 из слагаемого 8•10, а число 1 из слагаемого 5, тогда: (4•102+8•10+5)-2•102–3•10-1=(4•102–2•102)+(8•10-3•10)+(5-1). Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 10 2 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4–2)•102+(8-3)•10+(5–1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4–2, 8–3 и 5–1 находим по таблицам сложения и получаем выражение: 2•102+5•10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485–231=254. Выражение (4–2)•102+(8–3)•10+(5–1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: •

       
       
       

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в ДСС.

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа.

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания.

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблицы сложения однозначных чисел. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в ДСС, который можно представить в следующем предписании:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Ознакомление учащихся с правилами порядка выполнения действий | Современных условиях хозяйствования
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 3231; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.