О сходимости разложений

При заданном базисе ф_i(t) коэффициенты U_i,k системы уравнений (9) могут быть вычислены заранее. В этом случае определение коэффициентов разложения C_i сводится к вычислению правых частей V_i по (16) и решению системы линейных уравнений (9) или, что эквивалентно, матричного уравнения (17). При большой размерности n базиса последняя операция достаточно трудоемка. Если выбрать такие базисные функции, которые в пространстве H ортогональны между собой попарно, то есть

= = 0; (1.18)

i = 1…n; j = 1…n; i j,

то матрица U становится диагональной, а система (9) – разрешенной. Разложение по ортогональному базису при возможности увеличения размерности базиса до бесконечности и выполнении некоторых других условий называется обобщенным рядом Фурье [1]. Простота решения системы уравнений (9) в большинстве случаев определяет использование ортогональных базисов (обобщенных рядов Фурье), в том числе и тригонометрических. Однако, в некоторых задачах предпочтение может быть отдано неортогональным разложениям. Степень гладкости разлагаемой функции можно характеризовать порядком R младшей производной, в которой на интервале разложения существуют разрывы первого рода (конечные разрывы). Известно [2], что сходимость тригонометрического ряда Фурье, под которой понимается уменьшение коэффициентов ряда с ростом его номера, имеет порядок 1/n^R. Однако, при сколь угодно высокой степени гладкости разлагаемой функции внутри интервала разложения, несовпадение значений разлагаемой функции в начале и конце интервала разложения эквивалентно разрыву в функции, что приводит к весьма слабой сходимости ряда порядка 1/n. Это является следствием периодичности ортогонального тригонометрического базиса на интервале разложения. Возможность улучшения сходимости за счет отказа от ортогональности базиса проиллюстрируем простым примером. Разложим функцию f(t) = exp(-t) на интервале (0…2) по базису:

1, cos(pxt), sin(pxt), cos(2pxt),sin(2pxt), … cos(qpxt),.. (1.19)

Здесь q – число гармоник в базисе. Базис (19) ортогонален при x = 1. Отличие величины x от единицы характеризует удаление базиса от условий ортогональности. На рис.1 представлена зависимость от x среднеквадратической ошибки разложения

для базисов различной размерности: q = 1, q = 2, q = 3.

На Рис.2 представлены графики разлагаемой функции, разложения по ортогональным базисам различных размерностей (кривые q = 1, q =2, q = 3) и по неортогональному базису размерности q = 1 (кривая x = 0.1). Из графиков, представленных на рисунках 4.1 и 4.2, можно видеть, что увеличение размерности ортогонального базиса не приводит к существенному уменьшению ошибки разложения. Применение же неортогонального базиса позволяет существенно уменьшить ошибку разложения уже при малой размерности базиса. Увеличение объема расчетов на решение уравнений (17) может компенсироваться увеличением точности разложения.

Дата добавления: 2014-01-20