Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Выражение ошибки численного решения через изменение корней характеристического уравнения




 

Приведем матрицу A к диагональному виду [2.6]:

A = S L S-1 (2.1.15)

 

Здесь L –диагональная матрица, составленная из собственных значений Zkматрицы А, являющихся корнями характеристического уравнения

 

det(IZ – A) = 0, (2.1.16)

 

S - диагонализирующая матрица, составленная из собственных векторов матрицы А.

Известно, что диагонализирующая матрица S сохраняет свой вид для любой степени А и для любого матричного полинома по степеням А, включая сходящиеся степенные ряды. Диагонализируя матричную экспоненту (4) и умножая ее слева на S-1и справа на S, получим:

 

eLh= I + Lh + (Lh)2/2 + …+ (Lh)r/r! + (Lh)r+1/(r+1)! +…

(2.1.17)

 

Здесь eLh– диагональная матрица со скалярными экспонентами

eZkhпо диагонали.

Диагонализируя соотношения (6) и умножая их слева на S-1и справа на S, получим:

eLh= e Lh+ de Lh, e Lh= I+Lh+L2h2…(Lh)r/r!,

(2.1.18)

de Lh= (Lh)r+1)/(r+1)! + …

 

Все матрицы в (18) диагональные.

Диагонализируем соотношение (12):

 

e(L+dL)h= e Lh (2.1.19)

 

Напомним, что матрица dA в (12) характеризует ошибку численного решения в области коэффициентов решаемого уравнения (1).

Аналогично, диагональная матрица dL из (19) характеризует ошибку численного решения в области корней характеристического уравнения (16). Точное решение (19) относительно dL имеет вид:

 

dL = ln(e Lh)/h – L (2.1.20)

 

Диагонализируя (13), получим другю форму точного решения (19):

 

edLh– I = - e-Lh de Lh (2.1.21)

 

В (20) и (21) все матрицы диагональные, поэтому эти соотношения верны для любой строки, то-есть для любого корня характеристического уравнения (16). Учитывая вышесказанное и разлагая входящие в (21) экспоненты в степенные ряды, можно получить приближенные скалярные выражения разной степени точности:

dZkh- (Zkh)r+1[1 – Zkh(r+1)/(r+2) +…]/(r+1) dZkh- (Zkh)r+1/(r+1)! (2.1.22)

 

Как видно из выражений (20) - (22), смещение dZk зависит только от

k -того корня Zkи не зависит от других корней характеристического уравнения.

Таким образом, численное решение системы дифференциальных уравнений (1) с корнями характеристического уравнения

Z1,..., Zn эквивалентно точному решению другой системы уравнений со смещенными корнями Zk+ dZk, k = 1,…n, где смещения корней определяется соотношениями (2.1.20)…(2.1.22).

Если по условиям решаемой задачи можно сформулировать

допустимые изменения корней dZkхарактеристического уравнения, то соотношения (2.1.20) …(2.1.22) позволят осуществить предварительный выбор порядка метода r и шага дискретизации h.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 448; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.