Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии

Пусть

x , х ,..., х _n- совокупность значений независимого, факторного признака;

y , y ..., y _n - совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака;

n - количество наблюдений.

Для нахождения уравнения регрессии вычисляются следующие величины:

1 Средние значения

для экзогенной переменной.

для эндогенной переменной.

2. Отклонения от средних величин;

, .

3 Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения

, .

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

4 Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между x и y. Если , то взаимосвязь прямая. Если , то взаимосвязь обратная.

5 Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

.

Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы (). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации.

Если , то вычисления продолжаются.

6 Вычисления параметров регрессионного уравнения.

Коэффициент b находится по формуле:

После чего можно легко найти параметр a:

Коэффициенты a и b находятся методом наименьших квадратов, основная идея которого состоит в том, что за меру суммарной погрешности принимается сумма квадратов разности (остатков) между фактическими значениями результативного признака и его расчетными значениями , полученными при помощи уравнения регрессии

.

При этом величины остатков находятся по формуле:

, где

фактическое значение y; расчетное значение y.

Пример. Пусть у нас имеются статистические данные о доходах (X) и спросе (Y). Необходимо найти корреляционную зависимость между ними и определить параметры уравнения регрессии.

ГОД n	ДОХОД X	СПРОС Y
		10,3
		10,5

Предположим, что между нашими величинами существует линейная зависимость.

Тогда расчеты лучше всего выполнить в Excel, используя статистические функции;

СРЗНАЧ - для вычисления средних значений;

ДИСП - для нахождения дисперсии;

СТАНДОТКЛОН - для определения среднего квадратичного отклонения;

КОРЕЛЛ - для вычисления коэффициента корреляции.

Корреляционный момент можно вычислить, найдя отклонения от средних значений для ряда X и ряда Y, затем при помощи функции СУММПРОИЗВ определить сумму их произведений, которую необходимо разделить на n-1.

Результаты вычислений можно свести в таблицу.

Дата добавления: 2014-01-20