Функция издержек

Мы нашли оптимальное сочетание ресурсов x₁*, x₂*, … x_n*, для обеспечения данного объема выпуска продукции y₀ при фиксированных ценах на эти ресурсы. Меняя y₀ в данной задаче, получим зависимость оптимального объема ресурсов от объема выпуска продукции x*=x*(y). Такую вектор-функцию называют функцией производственных затрат ресурсов, а сами издержки

называют функцией издержек, которая обозначается C(y)=Z_min(y).

однако эта зависимость от объема выпуска (у) для разных видов издержек различна. А именно имеют место:

а) постоянные расходы C₀, которые практически не зависят от y, в т.ч. оплата административного персонала, аренда и содержание зданий и помещений, амортизационные отчисления, проценты за кредит, услуги связи и т.п.:

б) пропорциональные объему выпуска (линейные) затраты C₁, сюда входят материальные затраты C_m, оплата труда производственного персонала (часть C_l), расходы по содержанию действующего оборудования и машин (часть C_k) и т.п.

C₁ = ay,

где а - обобщенный показатель затрат указанных видов в расчете на одно изделие

в) “сверхпропорциональные” (нелинейные) затраты С₂, в составе которых выступают приобретение новых машин и технологий т.е. затраты типа С_r), оплата сверхурочного труда и т.п. Для математического описания этого вида затрат обычно используется степенная зависимость

С₂ = by^h (h > 1).

Задача максимизации объема выпуска продукции

Задача максимизации объема производства состоит в том, чтобы определить максимальный объем выпуска продукции при заданных затратах ресурсов.

Математическая формулировка:

Геометрически для n=2 это означает, что задана изокоста с уравнением q₁x₁+q₂x₂=C и нужно найти ту изокванту производственной функции, которая касается этой изокосты. Точка касания x₁*, x₂* и есть оптимальное решение, а максимальный объем выпуска продукции y*.

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:

Условия оптимальности запишутся:

В точке максимума x* будут иметь место соотношения, аналогичные соответственным соотношениям в задаче минимизации издержек.

Дадим интерпретацию множителя Лагранжа.

В точке максимума

следовательно

Таким образом, l₂*выражает дополнительный выпуск продукции в расчете на единицу общих затрат, т.е. он выражает общую предельную производительность ресурсов. l₁* и l₂* для рассмотренных задач по смыслу взаимообратные. Поэтому эти задачи называют взаимными задачами для производителя.

Математические модели потребительского поведения и спроса

В основе моделей потребительского поведения и спроса лежат модели распределения доходов и теория полезности. Рассмотрим вначале модели распределения доходов.

Дата добавления: 2014-01-20