Конспект лекций по дисциплине

«НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

для специальности: 150200 (190601.65)

“Автомобили и автомобильное хозяйство”

Разработал

Доцент кафедры НГиКГ

__________ И.В. Козлова

«___» ______________ 2010 г.

1. Основы начертательной геометрии

Важнейшее прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она учит выполнять и читать чертежи и другие изображения предметов. Невозможно достаточно полно и детально предста­вить себе предмет даже по самому под­робному его описанию, однако это лег­ко сделать, имея навыки в чтении проекционных чертежей объекта и поль­зуясь его наглядными изображениями.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространствен­ного воображения и умению мысленно создавать представления о форме и раз­мерах объекта по его изображению на плоскости.

Главное отличие методов изображения, изучаемых в курсе начер­тательной геометрии, от всех совре­менных технических средств отображе­ния (фотографии, киносъемки, гологра­фии и др.), заключается в возможности с большой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возни­кающие в нашем представлении образы проектируемого объекта.

Таким образом, в курсе начертательной геометрии изучаются:

1) методы изображения простран­ственных форм на плоскости;

2) способы графического решения различных геометрических задач, свя­занных с оригиналом;

3) способы преобразования и иссле­дования геометрических свойств изоб­раженного объекта;

4) приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображе­ний проектируемого объекта.

1.1. Методы проецирования.

В начерта­тельной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в со­ответствие определенная точка двумер­ного пространства – плоскости чертежа. Геоме­трическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности про­странства. Геометрическое простран­ство как точечное множество отобра­жается на плоскость по закону проеци­рования. Результатом такого отображе­ния является изображение объекта.

Различные способы изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при составлении чертежей и построении наглядных изоб­ражений, основаны на методе проекций.

Сущность метода проекций следующая. В пространстве выбирают точку S - центр проецирования и плоскость проекций К, не совпадающую с точкой S (рис. 1.1, а). Проецирование, т.е. полу­чение изображения объекта, заключается в проведении через центр проекций S и каждую точку А, В, С,... изображае­мого объекта прямых линий (лучей), на­зываемых проецирующими прямыми. Множество прямых, проходящих через одну точку пространства, называют связкой прямых. Совокупность точек пересечения этих прямых с плоскостью проекций даст изображение (проекцию), которое называют центральной проек­цией объекта.

На рис. 1.1, б изображение вы­полнено в центральной проекции или перспективе. Оно обладает наилучшей наглядностью и наиболее верно передает те зрительные впечатления, ко­торые получает студент, рассмат­ривая предмет в натуре.

Перспектива передает не только общую форму предмета, но и отражает взаимное положение наблюдателя и предмета - поворот и удаление пред­мета относительно зрителя. Например, вертикальное ребро параллелепипеда, которое расположено ближе к наблюда­телю, изобразилось большего размера, чем-то, которое расположено дальше. Параллельные горизонтальные прямые изображаются в перспективе линиями, сходящимися в глубину, и т.д.

Однако по перспективному изобра­жению сложно определить истинные размеры и форму предмета.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических форм на плоскости. Ос­новными и неизменными его свойства­ми (инвариантами) являются следую­щие:

1) проекция точки - точка;

2) проекция прямой - прямая;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

Частный случай центрального про­ецирования - параллельное проецирова­ние, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирую­щие прямые становятся параллельными между собой. Положение проецирую­щих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис. 1.2). В этом слу­чае полученное изображение называют параллельной проекцией предмета.

Параллельные проекции подразде­ляются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол, не равный прямому.

При построении проекций объекта не обязательно проецировать все его точки. Достаточно построить проекции некоторых опорных, характерных точек, которые однозначно определяют форму предмета на изображении. Так, для по­строения проекции треугольника (см. рис. 1.2) следует построить проекции трех его вершин.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального проецирования и добавляются следую­щие:

4) проекции параллельных прямых параллельны между собой;

5) отношение отрезков прямой рав­но отношению их проекций;

6) отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

Рассмотрим специфические особен­ности основных видов проекционных изображений.

На рис. 1.3, а, изображение точки А, В выполнено в параллельной - прямоугольной или ортогональной проекции на одну плоскость (П₁). На рис. 1.3, б – изображение предмета тоже в прямоугольной проекции.

Оно отли­чается тем, что предмет проецируется не на одну плоскость проекций, а на две или три плоскости и таким образом, чтобы форма и основные размеры пред­мета не искажались. (Рис. 1.3, в) Плоскости проек­ций после проецирования совмещаются в одну.

По ортогональным проекциям легко определить размеры изображенного параллелепипеда, так как его грани изображаются в нату­ральную величину, но изображение в ор­тогональных проекциях на чертеже не обладает такой наглядностью, как перс­пективное или аксонометрическое. Чтобы составить представление об изображенном на чертеже предмете, нужно сопоставить две или три его про­екции. Однако ортогональные проекции (чертежи) предмета обладают очень важным качеством: при наличии масш­таба, размерных и других данных по чертежам можно воспроизвести изобра­женные предметы в точном соответ­ствии с проектным замыслом.

К проекционным изображениям в начертатель­ной геометрии предъявляются следую­щие основные требования:

обратимость-восстановление ори­гинала по его проекционным изображе­ниям (чертежу) - возможность опреде­лять форму и размеры объекта, его по­ложение и связь с окружающей средой;

наглядность - изображение (перс­пектива, аксонометрия) должно созда­вать пространственное представление о форме предмета и о том, как будет вы­глядеть предмет в реальных условиях;

точность - графические операции, выполненные на чертеже, должны да­вать достаточно точные результаты;

простота - изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объек­та в виде последовательности графиче­ских операций.

Ос­новными свойства­ми ортогонального проецирования и все дальнейшие построения основываются на следующих свойствах:

1) Проекция точки — есть точка;

2) Проекция прямой - есть прямая;

3) Проецирующий луч проецируется в точку;

4) Точка принадлежит прямой линии, если одноименные проек­ции точки принадлежат одноименным проекциям прямой линии;

5) Прямые в пространстве параллельны, если их одноименные проекции параллельны;

6) Прямой угол проецируется в прямой, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей;

7) Прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей заданной плоскости;

8) Проекция плоской фигуры - есть плоская фигура.

1.2. Проекция точки.

Эпюр Монжа или комплексный чертеж. Проекция геометрического объекта на одну плоскость не дает полного и однозначного представления о самом геометрическом объекте. Рассмотрим проецирование на две взаимно перпендикуляр­ные плоскости (рис. 1.4), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.

Несмотря на наглядность, с чертежом, где проекция точки А расположена в пространстве (рис. 1.4, а), работать неудобно, т. к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость раз­вернуть вокруг оси OX на 90° и совместить с фронтальной так, что­бы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя – вверх. Этот метод предложил Г. Монж, поэтому чертеж, получен­ный таким образом (рис. 1.4, б) называется эпюром Монжа или ком­плексным чертежом.

Обычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортого­нальную первым двум. (Рис. 1.5, а) Тогда плоскость П₁ называется горизонтальной плоскостью проекций, П₂ - фронтальной плоскостью проекций (т. к. она расположена перед нами по фронту), П₃ - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю), A₁ - горизонтальная проекция точки А, А₂ - фронтальная проекция точки А, А₃ - профильная проекция точки А.

Оси OX, OY, OZ называются осями проекций. Они аналогич­ны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не впра­во, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа), необходимо и профильную плоскость про­екций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90° вокруг оси OZ, причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис 1.5, б. Так как ось OY разворачивается вместе с двумя плоскостями П₁ и П₃, то на комплексном чертеже ее изобра­жают дважды.

Исходя из рис. 1.5, а, очевидно, что А₁А_х = OA_y = А_zА₃. Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций: расстояние от го­ризонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции точки до оси OZ. Тогда по двум любым про­екциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фрон­тальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.

В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свер­нутую в плоскость модель пространства, на нем нельзя изобра­зить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее по­ложение совпадает с одной из проекций). На комплексном черте­же мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.

Ортогональная система трех плоскостей проекции. Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и две орто­гональные проекции предмета (при нали­чии буквенных обозначений) вполне опре­деляют его форму.

Однако в практике для изображения изделий, машин и различных инженерных конструкций возникает необ­ходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана на рис. 1.6, а. Третья плоскость, перпендикулярная П₁ и П₂, обозначается бук­вой П₃ и называется профильной. Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными.

Плоскости проекций, попарно пересека­ясь, определяют три оси: OX, OY, OZ, которые можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Три плоскости проекций делят про­странство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости П₁ и П₃ вращают, как показано на рис. 1.6, а, до совмещения с плоскостью П₂. В результа­те вращения передняя полуплоскость П₁ оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью П₂, а задняя полуплоскость П₁ — с верхней полуплоскостью П₂. При повороте на 90° вокруг оси OZ передняя полуплоскость П₁ совместится с правой полуплоскостью П₂, а задняя полупло­скость П₃ — с левой полуплоскостью П₂.

Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рис. 1.6, б. На этом чертеже оси OX и OZ, лежащие в неподвижной плоскости П₂, изображены только один раз, а ось OY показана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью П₁, ось OY на эпюре совме­щается с осью OZ, а вращаясь вместе с плоскостью П₃, эта же ось совмещается с осью OX.

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— OX; — OY; — OZ) указываться не будут. Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекции (октант) даны в табл. 1.1.

Проецирование точек, занимающих частное положение в пространстве. Частным положением точки считаем такое, при котором она на­ходится либо на оси проекций, либо на плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции ле­жат на этой оси, а третья - в начале координат. Если точка располо­жена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие - на осях проекций.

В качестве примера рассмотрим построение проекций точки Е, принадлежащей оси OY и расположенной во II четверти, и точки F, лежащей в профильной плоскости проекций и расположенной в III четверти. (Рис. 1.7)

Для точек, занимающих частное положение в пространстве, по­строения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.

Построение проекций точки по ее координатам. Если заданы координаты какой-либо точки А (х, у, z), тогда про­екции точки строят следующим образом сначала откладывают абс­циссу по оси ОХ, затем проводят вертикальную линию, далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат у, z). По оси OY получают горизонтальную проекцию А₁, по оси OZ - фронтальную А₂. Профильную проекцию А₃ строят по A₁ и А₂ (либо по координатам). Например, построим проекции точек А (10, 20,30) и С (20, -30, -10).

Взаимосвязь координат точки и ее проекций показаны на рис. 1.8, где 1.8, а - вид в аксонометрии, 1.8, б - комплексный чертеж.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и у, фронтальной проекции - коорди­натами х и z, профильной проекции координатами у и z. Тогда ор­дината у всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата — фронтальной.

Исходя из тех же положений, решается обратная задача — определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чер­теже изображены проекции точки, тогда, измерив, соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.8, б) Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т. к. любая пара проекций определяет три координаты.

Удаленность точки от плоскости проекций. Расстояние точки от какой-либо плоскости проекций определяет положение соответствующих проекций, а именно расстояние до П₁ ха­рактеризует положение фронтальной проекции расстояние до П₂ горизонтальной проекции, расстояние до П₁ - и горизонтальной и фрон­тальной проекций. Так, если известно, что точка А удалена от П₁, на 30 мм, тогда ее фронтальная проекция А₂ удалена от оси ОХ на 30 мм, если задано, что точка А удалена от П₃ на 10 мм, тогда А₁, и А₂, удалены от осей OZ и OY соответственно на это расстояние (см. рис. 1.8).

Если сказано, что точка В расположена на 10 мм ближе, чем точка А к плоскости проекций П₂, тогда на комплексном чертеже это выглядит, как показано на рис. 1.9. Ясно, что при этом одна из про­екций совпадает с предыдущей, а положение двух других меняется соответствующим образом. Другой пример, где точка D расположе­на дальше от П₃, чем точка А, на 20 мм (см. рис. 1.9)

Симметрия. Симметричными относительно плоскости проекций считаются точки, расположенные на одинаковом расстоянии от нее, но с разных сторон. При этом меняется знак соответствующих координат точки. Например, пусть задано положение точки А. Требуется пост­роить точку М, симметричную точке А (см. рис. 1.8, б) относительно плоскости П₂, и точку N. симметричную точке А относительно плоскости П₁. Тогда проекции этих точек будут расположены на ком­плексном чертеже, как показано на рис. 1.10.

1.3. Проекция прямой.

Следующим после точки геометрическим объектом, проециро­вание которого рассматривается, является прямая линия. Посколь­ку ее положение в пространстве однозначно определяется двумя точками, то и для определения положения проекций прямой также достаточно зафиксировать проекции двух точек. Поэтому для построения проекций прямой можно использовать все правила, касающиеся про­ецирования точки.

Прямые частного и общего положения. Прямая называется прямой частного положения, если она зани­мает в пространстве частное положение, а именно либо параллель­на, либо перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Для об­легчения усвоения основных понятий рассмотрим проецирование прямых, расположенных в первой четверти.

Прямые уровня. Прямой уровня называется прямая, параллельная одной из плос­костей проекций. Поскольку плоскостей проекций три, то и прямых уровня тоже три.

1) Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонтальной прямой уровня или горизонталью и обо­значается h. (Рис. 1.11, а, б)

2) Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П₂, называется фронтальной прямой уровня или фронталью и обозна­чается f.

3) Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П₃, на­зывается профильной прямой уровня и обозначается p.

Исходя из положения прямых уровня в пространстве, фронтальные и профильные проекции выглядят так, как показано на рис. 1.11, в, г.

Горизонталь характерна тем, что ее фронтальная проекция па­раллельна оси ОХ. Фронталь характерна тем, что ее горизонтальная проекция параллельна оси ОХ. При этом по правилу взаимосвязи проекций расстояние от f₃ до оси OZ равно расстоянию oт f₁ до оси ОХ. У профильной линии уровня и фронтальная и горизонтальная проекции перпендикулярны оси ОХ.

Очевидно, что если прямая параллельна какой-либо плоскости, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину (без ис­кажений). Поэтому h_1, f_2, p₃ - это натуральная величина соответствую­щих прямых h, f, p, α - угол наклона прямой уровня к П₂; β - угол наклона прямой уровня к П₂; γ - угол наклона прямой уровня к П₃.

Проецирующие прямые. Проецирующей прямой называется прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, а, следовательно, параллельная двум другим плоскостям проекций.

1) Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проек­ций П₁ называется горизонтально-проецирующей прямой и обозна­чается i. (Рис. 1.12, а, б)

2) Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂, называется фронтально-проецирующей прямой и обозначается j. (Рис. 1.12, в)

3) Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П₃, называется профильно-проецирующей прямой и обозначается r. (Рис. 1.12, г)

Горизонтально-проецирующая прямая характерна тем, что ее го­ризонтальной проекцией является точка, а фронтальная проекция перпендикулярна оси ОХ. Фронтально-проецирующая прямая характерна тем, что ее фронтальной проекцией является точка, горизонтальная проекция перпендикулярна оси ОХ. У профильно-проеци­рующей прямой фронтальная и горизонтальная проекции параллель­ны оси ОХ, а профильная проекция – точка.

У проецирующих прямых две проекции параллельны плоскостям проекций. Поэтому i ₂, i ₃, j ₁, j ₃, r₁, r ₂ - это натуральные величины со­ответствующих прямых i, j, r.

Прямая общего положения. Прямой общего положения называется прямая, занимающая об­щее положение в пространстве, т. е. не параллельная ни одной из плоскостей проекций, а следовательно, расположенная к каждой из них под углом.

Естественно, что ни одна из проекций прямой общего положе­ния не показывает ее натуральную величину, а также угол наклона к одной из плоскостей проекций. (Рис. 1.13) Любая проекция такой пря­мой меньше самой прямой. Таким образом, для прямой общего положения верно утверждение натуральная величина больше или равна любой ее проекции.

Проецирование прямой, расположенной во II четверти (в Î II) изображено на рис. 1.14.

Деление отрезка прямой в заданном отношении. При делении отрезка прямой в заданном отношении используется теорема о подобии треугольников, известная из курса элементарной геометрии. Так, если необходимо отрезок АВ разделить в отношении 2: 3, тогда и его проекции будут разделены в том же отношении. Для этого на одной из проекций (например, горизонтальной) из любой граничной точки (например, В) отрезка проведем прямую линию d в произволь­ном направлении. (Рис. 1.15) Затем отложим на ней 5 равных отрезков, после чего соединим полученную точку В* с точкой А₁. Далее, через вторую засечку на линии d проведем прямую, параллельную А₁В*. На отрезке А₁В₁ получим точку С₁, которая делит его в заданном отноше­нии, т. е. В₁ С₁ : А₁ С₁=2:3.

Проведя соответствую­щие линии проекционной с вязи, получим точки деления на проекциях А₂В₂ и А₃В_{3 .} Таким образом, разделив проекции отрезка в заданном отношении, мы тем самым решили задачу деления самого отрезка.

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций методом прямоугольного треугольника. Одним из методов определения натуральной величины отрезка прямой является метод прямоугольного треугольника, который мож­но сформулировать так натуральной величиной отрезка является гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которо­го служит горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим - разность расстояний от граничных точек фронтальной (горизон­тальной) проекции отрезка до оси ОХ. При этом углом наклона от­резка к горизонтальной (фронтальной) плоскости проекции являет­ся угол между гипотенузой прямоугольного треугольника и гори­зонтальной (фронтальной) проекцией отрезка.

Как видно из рис. 1.16, а длину отрезка прямой АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВ*В, в котором: катет АВ* =А₁В₁ (проекции отрезка АВ на плоскость П₁), а катет ВВ* равен ∆z — разности расстояний точек А и В от плоскости П_1. Угол φ в том же треугольнике определяет угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости П_1. (Рис. 1.16, б)

Если вместо плоскости П₁ взять плос­кость П₂, то длину отрезка АВ можно определить аналогичным путем из прямоу­гольного треугольника ABA* (рис. 1.16, в), где катет ВА* равен проекции А₂В₂, а второй катет АА* равен ∆y — разности расстоя­ний точек А и В от плоскости П₂. Угол ψ в том же треугольнике ABA* определяет угол наклона прямой АВ к плоскости П₂.

На рис. Рис. 1.16, б, в показано на эпюрах нахождение длины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям П₁ (угол φ) и П₂ (угол ψ).

Взаимное положение прямых в пространстве. Конкурирующие точки. Видимость.

Прямые в пространстве могут занимать по отношению друг к другу одно из трех положений: рис. 1.17, а - быть параллельными, рис. 1.17, в - пересекаться, рис. 1.18, а - скрещиваться, т. е. не пересекаться, но и не быть параллельными. Рассмотрим, как располагаются их проекции. (Рис. 1.17, б, г, рис. 1.18, в)

В соответствии с одним из свойств ортогонального проецирова­ния, если прямые параллельны, то их одноименные проекции парал­лельны. (Рис. 1.17, а) Если прямые пересекаются, то их проекции пере­секаются, причем точки пересечения проекций лежат на одной линии проекционной связи (А - точка пересечения прямых с и d). (Рис. 1.17, в) Если пря­мые скрещиваются, то их проекции пересекаются, но точки пересече­ния проекций не лежат на одной линии проекционной связи (см. на рис. 1.18, а точки C₁ и В₂). Тогда, следуя по вертикальной линии связи от точки C₁, получим на каждой из прямых n₂ и m₂ соответственно две проекции точки - С₂ и некоторой точки D₂, а следовательно, на пере­сечении n₁ и m₁, лежат две точки С₁ и D₁, слившиеся в одну.

Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются кон­курирующими. Такие точки могут быть только на скрещивающихся прямых, что очевидно из их пространственного положения. Точки, горизонтальные проекции которых совпадают, называются горизон­тально-конкурирующими (см. рис 1.18, б, точки С и D), а если совпа­дают фронтальные проекции, то точки называются фронтально-кон­курирующими (см. рис. 1.18, б, точки В и Е).

При этом конкурирующие точки расположены на разном рассто­янии от плоскостей проекций. Фронтально-конкурирующая точка, расположенная ближе к П₂, будет закрыта от наблюдателя точкой, расположенной дальше от П₂, а следовательно, ближе к наблюдате­лю. Значит, ее горизонтальная проекция расположена дальше от ОХ. Тогда в нашем примере точка Е - видимая, а точка В – невидимая. Аналогично С - видимая, a D – невидимая. Таким образом, видимой является точка, у которой проекция расположена дальше от оси ОХ. Чтобы различать точки на чертеже, невидимую заключают в круг­лые скобки.

Следы прямой. Прямая общего положения пересекает все основные плоскости проекций. Точку пересечения прямой с плоскостью проекций назы­вают следом прямой.

В зависимости от того, с какой плоскостью проекций пересека­ется прямая, ее следы обозначаются следующим образом: M - гори­зонтальный след прямой, N – фронтальный. Соответствующие про­екции следов прямой обозначаются M₁ - горизонтальная проекция горизонтального следа, M₂ его фронтальная проекция. Отметим, что проекция M₁, совпа­дает с самим горизонтальным следом M, а его фронтальная проек­ция M₂ лежит на оси ОХ. Фронтальный след N совпадает с N₂ (фронтальной проекцией фронтального следа), а его горизонтальная проекция N₁, лежит на оси ОХ.

Для произвольного отрезка прямой АВ общего положения построим следы. (Рис. 1.19)

Чтобы найти горизонтальный след прямой, нужно продолжить фронтальную проекцию А₂В₂ до пересечения с осью ОХ. Полученная точка M₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа. Из полученной точки проводим перпендикуляр к оси ОХ до пе­ресечения с продолжением горизонтальной проекции отрезка А₁В₁. Точка M₁ — горизонтальная проекция горизонтального следа, она со­впадает с самим горизонтальным следом.

Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию отрезка А₁В₁, до пересечения с осью ОХ через N₁ (го­ризонтальную проекцию фронтального следа) проводим перпенди­куляр до пересечения с фронтальной проекцией А₂В₂. Точка N₂ - фронтальная проекция фронтального следа, она совпадает с фронтальным следом N.

Взаимно перпендикулярные прямые. Если две прямые пересекаются под прямым углом, то проекции их в общем случае образуют угол, не равный 90°.

Для того чтобы прямой угол проециро­вался в истинную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпенди­кулярна плоскости проекций.

Рассмотрим изображение на рис. 1.20, а пусть сторона АВ пря­мого угла ABC параллельна плоскости П₁. Докажем, что проекция его угол A_lB_lC_l = 90°.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости α, так как АВ перпендикулярна двум пря­мым этой плоскости ВС и ВВ₁, проходя­щим через точку В.

Прямая АВ и ее проекция А₁В₁ — две параллельные прямые, а потому А₁В₁ так­же перпендикулярна плоскости α. Следо­вательно, А₁В₁ перпендикулярна В₁С₁.

Докажем теперь, что если ортогональ­ная проекция угла ABC на некоторую плоскость П_1, является прямым углом и од­на из сторон угла параллельна той же плоскости, то угол ABC — прямой (рис. 1.20, а).

Прямая А₁В₁ перпендикулярна плоско­сти α, так как образует прямые углы с В₁С₁ по условию и с ВВ₁ по построению. Но А₁В₁ параллельна АВ. Значит, и пря­мая АВ ^ α. Следовательно, угол между АВ и ВС — прямой.

На основании изложенного можно ут­верждать, что углы, показанные на рис. 1.20, б, в, являются проекциями прямых углов. У первого из них сторона а параллельна плоскости П₁ у второго — сторона f па­раллельна плоскости П₂.

1.4. Проекция плоскости.

Плоскость является простейшей поверхностью, которую можно представить как веер линий, полученных при движении прямой (об­разующей), закрепленной в некоторой точке, по другой прямой (на­правляющей).

Здесь и в дальнейшем будем рассматривать геометрические объекты, лежащие в I четверти. Тогда их горизонтальные проекции будут расположены во II квадранте, фронтальные - в I, профильные в - IV квадранте.

Способы задания плоскости на чертеже. Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено хорошо известными геометрическими объектами. В со­ответствии с этим плоскость может быть задана одним из шести спо­собов (рис. 1.21):

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

в) двумя параллельными прямыми;

г) двумя пересекающимися прямыми;

д) плоской фигурой;

е) следами.

На чертеже (рис. 1.21) соответствующие геометрические объекты (точки, прямые), задающие плоскость показаны в виде проекций.

Плоскости частного и общего положения. Плоскостью частного положения называется плоскость, занимающая частное положение в пространстве, т. е. параллельна или перпендикулярная одной из плоскостей проекций. (Рис. 1.22)

Плоскостью уровня называется плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, а следовательно, перпендикулярная двум другим Тогда проекциями плоскости уровня будут прямые, параллельные соответствующим осям (рис. 1.23), вне зависимости от того, чем задана плоскость. От способа задания плоскости зависит лишь се проекция на ту плоскость проекций, которой заданная плоскость параллельна. Плоскость, параллельная П₁ называется горизонтальной плос­костью уровня (Г), она задается тремя точками (см. рис. 1.23, а).

Плоскость, параллельная П₂ называется фронтальной плоскостью уровня (Ф). Зададим ее параллельными прямыми (см. рис. 1.23, б), причем, очевидно, расстояние от Ф, до ОХ равно расстоянию от Ф₃ до ОZ.

Плоскость, параллельная П₃, называется профильной плоскостью уровня (Р). Считаем ее заданной пересекающимися прямыми (см. рис. 1.23, в).

Плоскости общего положения. Плоскостью общего положения называется плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей, а значит, расположенная под произвольным углом к каждой из них. У такой плоскости все проекции будут невырожденные. Например, если плоскость общего положения задана плоской фигурой (треугольни­ком), то все три проекции ее будут треугольниками. (Рис. 1.24)

Следом плоскости называется прямая линия пересечения данной плоскости с одной из плоскостей проекций. Пересечение с П₂ дает фронтальный след плоскости, пересечение с П₁ – горизонтальный. Очевидно, что фронтальная проекция фронтального следа, так же, как и горизонтальная проекция горизонтального, совпадают с самим следом, а горизонтальная проекция фронтального следа и фронтальная проекция горизонтального лежат на оси ОХ.

Проецирующие плоскости. Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Исходя из определения, проекция такой плоскости является прямой при проецировании на ту плоскость про­екций, которой она перпендикулярна.

Горизонтально-проецирующей называется плоскость, перпенди­кулярная П₁, фронтально-проецирующей - перпендикулярная П₂, про­фильно-проецирующей - перпендикулярная П₃. На чертеже, первая из них задана плоской фигурой (рис. 1.25, а, б). На рис. 1.26 эта же плоскость задана следами, точка А принадлежит плоскости β, следовательно А₁ принадлежит следу β₁. Фронтально-проецирующая плоскость γ также задана следами см. рис. 1.27, а, б. Точка В принадлежит этой плоскости, следовательно В₂ принадлежит следу γ₂. На рис.1.27, в фронтально-проецирующая плоскость S задана прямой b и не лежащей на ней точкой D. Про­фильно-проецирующая плоскость ∆ задана следами. (Рис. 1.28, а, б)

Главными линиями плоскости называются линии уровня, лежащие в данной плоскости.

Линии уровня плоскости. Определение линиям уровня было дано выше. Здесь к определению добавляется лишь требование принадлежности их данной плоскости.

Рассмотрим построение главных линий плоскости. (Рис. 1.29 - 1.32)

Горизонталь плоскости, заданной следами (рис. 1.29) начинаем строить с вычерчива­ния ее фронтальной проекции h₂ которая, как известно, параллель­на оси ОХ. Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоско­сти, то фронтальная проекция следа прямой точки А₂ принадлежит следу плоскости. Горизонтальная проекция А₁ будет находиться на оси OX и располагаться параллельно горизонтальному следу плоскости.

Горизонталь плоскости (рис. 1.31), заданной плоской фигурой - DABC, проходит через две точки треугольника, а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А₂ и 1 ₂, по линии связи получим горизонтальную проекцию 1₁ (A₁ была задана). Соединив точки A₁ и 1₁, имеем горизонтальную проекцию h₁ горизонтали плос­кости DABC. Профильная проекция h ₃ горизонтали плоскости DABC будет параллельна оси OY по определению.

Фронталь плоскости, строится аналогично горизонтали. Заданной следами см. рис. 1.30, рис. 1.29, а заданной DABC (рис. 1.31) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f₁, так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f₃, фронтали должна быть параллельна оси OZ и пройти через проекции С₃, 2₃ тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости DABC имеет горизонтальную p₁, и фронтальную р₂ проекции, параллельные осям OY и OZ, а про­фильную проекцию р₃ можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 в DABC.

При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило для решения задачи всегда нужно получить две точки, принадлежащие данной плоскости. Построение глав­ных линий, лежащих в плоскости горизонтали и фронтали, за­данной двумя пересекающимися пря­мыми, показано на рис. 1.32.

Принадлежность точки и прямой плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется, но одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим следующую задачу. Пусть плоскость задана DABC. Требуется построить недостающую про­екцию D₁ точки D, принадлежащей этой плоскости. На рис. 1.33 изображено последователь­ность построений проекций точки, принадлежащей плоскости.

Через точку D₂ проводим проекцию прямой d, лежащей в плоскости, лежащей в плос­кости DABC, пересекающую одну из сторон треугольника и точку А₂. Тогда точка 1₂ принадлежит прямым A₂D₂ и С₂В₂. Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 1₁ на С₁В₁ по линии связи. Соединив точки 1₁ и А₁, получаем горизонтальную проекцию d₁. Ясно, что точка D₁ принадлежит ей и лежит на линии проекцион­ной связи с точкой D₂.

На рис. 1.34, а, б неизвестная проекция точки А Î α, найдена с помощью горизонтали и фронтали плоскости α.

Достаточно просто решаются задачи по определению принадлеж­ности точки или прямой плоскости. Так, на рис. 1.34 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка Е плоскости DABC, проведем через ее фронтальную проекцию Е₂ прямую а₂. Считая, что прямая а принадлежит плоскости DABC, построим ее горизонтальную проекцию а₁ по точкам пересечения 1 и 2. Как ви­дим (рис. 1.35, а), прямая а₁ не проходит через точку Е₁. Следователь­но, точка Е Ï DABC.

В задаче на принадлежность прямой b плоскости DABC (см. рис. 1.35, б), достаточно по одной из проекций прямой b₂ построить дру­гую – b₁*, считая, что b Î DABC. Как видим, b₁* и b₁ не совпадают. Следовательно, прямая b Î DABC.

Построение следов плоскостей. Рассмотрим построение следов на примере плоскости, заданной треугольником ABC. (Рис. 1.36) Для решения задачи достаточно выбрать, в заданной плоскости DABC две прямые и найти точки их пересечения с П₁, и П₂, т. е. горизонтальные и фронтальные следы. Соединив эти точки на П₁ и П₂, получим искомые следы плоскости.

Рассмотрим решение задачи более подробно. В качестве указанных прямых, принадлежащих плоскости DABC, выберем АВ и ВС. Получим решение для прямой АВ. Продолжив A₂В₂ до пересечения с осью ОХ, имеем фронтальную проекцию горизонтального следа M₂. Горизонтальным следом M является точка пересечения вертикальной прямой и продолжения прямой A₁В_1. Для получения фронтального следа продолжим А₁В₁ до пересечения с осью ОХ, где лежит горизонтальная проекция фронтального следа N_{1 .} Из этой точки проводим вертикальную прямую до пересечения с продолжением отрезка А₂В₂. Здесь и находим фронтальный след N₁.

Аналогичные построения производим для прямой ВС, получая горизонтальный M* и фронтальный N* ее следы. Соединив одноименные следы M* и M, N и N*, имеем соответственно горизонтальный α₁ и фронтальный α ₂ следы плоскости DABC.

Иногда при построении возникают сложности, связанные с тем, что прямые, которыми задана плоскость, дают проекции следов, выходящие за пределы чертежа. Тогда в заданной плоскости строят любую прямую, которая позволит получить удобное решение.

Взаимное положение прямых и плоскостей. Для решения некоторых задач начертательной геометрии суще­ственное значение имеет расположение рассматриваемых геометри­ческих объектов либо параллельно, либо перпендикулярно друг другу.

Рассмотрим признаки, по которым можно определить параллельность либо перпендикулярность геометрических объектов, а также зависящие от них правила построения проекций геометрических объектов, расположенных под определенным углом друг к другу.

Параллельность прямых и плоскостей. Если прямые параллельны друг другу, тогда параллельны и их одноименные проекции. Это свойство достаточно очевидно и в рассмотрение не нуждается.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда для построенияпараллельной прямой а (рис. 1.37, а) необходимо, чтобы обе ее про­екции были параллельны одноименным проекциям прямой(напри­мер, АВ), лежащей в данной плоскости. Прямая a параллельна плос­кости Н, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС. Или в математической форме: a || Н (АВ ∩ ВС).

Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости попарно параллельны двум пересекаю­щимся прямым другой плоскости. Для интерпретации этого свой­ства достаточно дополнить построения на рис. 1.37, а еще одной прямой в, пересекающей а и параллельной ВС (рис. 1.37, б). Мате­матическая запись выглядит так: Г (а∩в) || Н (АВ ∩ ВС).

Изображение следов плоскости p и q изображено на рис. 1.37, в.

Дата добавления: 2014-01-11