Интегрирование элементарных дробей. Определение1: дроби вида:

Определение1: дроби вида:

I. A; II. A; III. Mx +N; IV. Mx + N,

ax+b (ax+b)n (ax2 +bx + c) (ax2 +bx + c)m

где m,n- натуральные, причем m,n ≥ 2, и квадратный трехчлен ax2 +bx + c не имеют действительных корней, т.е. b2 – 4ac < 0 (D<0) – называются элементарными.

Разберем дроби.

I. ∫ A dx = A · ∫ a dx = | d(ax+b) = a dx; | = A · ∫ d(ax+b) = A · ln |ax+b| +C.

ax+b a(ax+b) a ax+b a

II. ∫ A dx = A · ∫ (ax+b)-n d(ax+b) = A · (ax+b) -n+1 = A + C;

(ax+b)n a a (1-n) a·(1-n) ·(ax+b)n-1

III. ∫ Mx + N dx;

ax2 +bx + c

Рассмотрим сначала Y = = = =

= = │т.к. b2 – 4ac <0 (по условию), то 4ac – b2 >0, тогда

>0; обозначим = k2;│= =

=│ Пусть = t, dx=dt; │ = = arctg() = ·arctg+C;

Y =

Рассмотрим искомый интеграл:

dx = dx = +

+= ∫ (ax2 +bx + c)–m d(ax2 +bx + c) + (N – ) · Y =

Y

= · ln|ax2 +bx + c| + (N – ) arctg+ C.

Пример:

∫ 7x – 2 dx = ∫ (6x-5) · 7/6 – 2 + 35/6 dx = 7/6 · ∫ (6x – 5) dx + ∫ 35/6 – 2 dx=

3x2 – 5x+4 3x2 – 5x+4 3x2 – 5x+4 3x2 – 5x+4

= 7/6 · ∫ d(3x2 –5x+4) + 23/18 · ∫ dx = 7/6 ln |3x2 –5x+4| +23/18 · ∫ d (x – 5/6) =

3x2 – 5x+4 x2 –5/3 · x+4/3 (x–5/6)2 +23/36

= 7/6 ln |3x2 – 5x+4| + 23/18 · 1/(/ 6) · arctg (x – 5/6) + C = 7/6 ln |3x2 – 5x+4| + /3 ·

/6

· arctg (6x – 5) + C.

IV. dx = = +

+= ∫ (ax2 +bx + c)–m d(ax2 +bx + c) + (N – ) ·

· = + (N – ) ) = |см. пример 3|

Ym

= + (N – ) Ym.

Отдельно вычислим Ym.

Ym = ∫ dt = 1 · ∫ (t2+k2) – t2 dt = 1 · ∫ dt – 1 · ∫ t2 dt = 1 · Ym-1 –

(t2+k2)m k2 (t2+k2)m k2 (t2+k2)m-1 k2 (t2+k2)m k2

Ym-1

– 1 · ∫ t2 dt = | U=t, dU = dt; dV = t dt; V =1/2 · ∫ (t2+k2)–m d(t2+k2) =

k2 (t2+k2)m (t2+k2)m

= 1 · (t2+k2)–m+1; |;

2 – m+1

Ym = 1 · Ym-1 – 1 · (t – ∫ dt) = 1 · Ym-1 –

k2k22(1-m)(t2+k2)m-12(1-m)(t2+k2)m-1k2

– t + 1;

2k2(1-m)(t2+k2)m-1 2k2(1-m)(t2+k2)m-1

Ym-1

Ym = t + 1 · Ym-1 · (1 + 1) = t + 1 Ym-1 ·

2k2(m –1)(t2+k2)m-1 k2 2(1-m) 2k2(m –1)(t2+k2)m-1 k2

· 3 – 2m;

2(1 – m)

Получили: Ym = t + 1 · 3 – 2m · Ym-1.

2k2(m –1)(t2+k2)m-1 k2 2(1 – m)

Пример:

∫ 2x – 4 dx = ∫ (2x+2) – 6 dx = ∫ (x2 + 2x +5)–2 · (2x+2) dx – 6 · ∫ dx =

(x2 + 2x +5)2 (x2 + 2x +5)2 ((x+1)2+4)2

= | x+1=t; | = ∫ (x2 + 2x +5)–2 d(x2 + 2x +5) – 6 · ∫ dt = (x2 + 2x +5)–1 – 6 · ∫ (4+t2) – t2 dt =

(t2 + 4)2 -1 4 (t2+4)2

= – 1 – 3 ∫ dt + 3 ∫ t2 dt = | U = t; dU=dt; dV= t dt;

x2 + 2x +5 4 t2 + 4 2 (t2 + 4)2 (t2 + 4)2

V =1/2 · ∫ (t2 + 4)–2 d(t2 + 4) = –1/2 (t2 + 4)–1 = –1/2 – 1; | = – 1 – 3 · Y1 +

t2 + 4 x2 + 2x +5 2

+ 3 · (t – ∫– dt) = – 1 – 3 · Y1 – 3t + 3 · Y1 = – 1 -

2 –2(t2 + 4) 2(t2 + 4) x2 + 2x +5 2 4(t2 + 4) 4 x2 + 2x +5

– 3t + 3 Y1 = – 1 – 3(x+1) + 3 · 1 · arctg (x+1) + C.

4(t2 + 4) x2 + 2x +5 4(x2 + 2x +5) 4 2 2

Дата добавления: 2014-01-20