Свойства, выражаемые равенствами

I.Пусть интегрируема в наибольшем из промежутков и . Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство:

,

каково бы ни было взаимное расположение точек a,b и c.

Доказательство:

Положим сначала, что и функция интегрируема в . То, что функция интегрируема в и следует из III интегрируемых функций.

Рассмотрим разбиение на части, причём точку будем считать одной из точек деления. Составим интегральную сумму, будем иметь (смысл обозначений ясен): .

Переходя к пределу при , мы получим требуемое равенство.

Пусть, например, и функция интегрируема в . Тогда, по доказанному, будем иметь:

.

II.Если интегрируема в , то и (где ) также интегрируема в этом промежутке, причём

.

III.Если и - обе интегрируемы в , то и также интегрируема в , причём

.

В обоих случаях доказательство строится аналогично, исходя из интегральных сумм и переходя к пределу. Проведём его, например, для утверждения III.

Разобьём произвольно на части и составим интегральную сумму для всех трёх интегралов. При этом точку в каждом частичном промежутке выбираем произвольно, но для всех сумм одни и те же; тогда будем иметь .

Пусть теперь ; так как для обеих сумм справа пределы существуют, то существует и предел и для сумм слева, чем устанавливается интегрируемость функции . Переходя в предыдущем равенстве к пределам, приходим к требуемому соотношению.

Дата добавления: 2014-01-20