Формула замены переменной в определенном интеграле

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют непрерывные производные на [a,b]; тогда

Действительно,

.

Поэтому функция f(x)g(x) является первообразной функции

.

Следовательно,

,

и наше утверждение доказано. Последнюю формулу удобно записывать в виде

Основная формула (А) позволяет установить правило замены переменной под знаком определенного интеграла.

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) непрерывная в [a,b] функция. Положим, , подчинив функцию условиям:

1)определена и непрерывна в некотором промежутке и не выходит за пределы промежутка [a,b], когда ;

2)

3)существует в непрерывная производная .

Тогда имеет место формула

, (9)

Ввиду предположенной непрерывности подынтегральных функций существуют не только эти определенные интегралы, но и соответствующие им неопределенные, и в обоих случаях можно воспользоваться основной формулой. Но если F(x) будет донной из первообразных для первого дифференциала , то функция будет первообразной для второго дифференциала

.

Поэтому имеем одновременно

И

Откуда и вытекает доказываемое равенство.

Примеры:

1)Используем замену:

Таким образом,

2)

3)

Пусть

t=1 при x=0; t=6 при x=1

Следовательно,

Оглавление.

Первообразная функция. Определение и свойства неопределенного интеграла.

Определение неопределённого интеграла.

Свойства неопределённого интеграла.

Таблица неопределённых интегралов. Методы непосредственного интегрирования.

Методы непосредственного интегрирования.

Замена переменной в неопределённом интеграле.

Формула интегрирования по частям.

Первообразные рациональных функций.

Разложение правильных дробей на простые.

Первообразные вида.

Первообразные вида .

Определённый интеграл.

Определение интеграла Римана.

Суммы Дарбу.

Свойства сумм Дарбу.

Условие существования интеграла.

Нижняя и верхняя интегральные суммы.

Условие существования интеграла.

Теорема Кантора.

Классы интегрируемых функций.

Свойства интегрируемых функций.

Свойства определённого интеграла.

Свойства, выражаемые равенствами.

Свойства, выражаемые неравенствами.

Теорема о среднем значении.

Обобщённая теорема о среднем значении.

Основная формула интегрального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Формула замены переменной в определенном интеграле.

Дата добавления: 2014-01-20