Рациональная дробь, её интегрирование

Выражение

в котором числа, называется многочленом (или полиномом) степени n относительно переменной x.

Пример: выражение есть многочлен степени 5 (5 – наибольшая степень у переменной поэтому многочлен можно обозначить .

Пусть – многочлен степени – многочлен степени .

Отношение многочленов

называется рациональной дробью. Если , дробь называется правильной. В остальных случаях рациональная дробь называется неправильной.

Примеры: – правильная рациональная дробь;

– неправильные рациональные дроби.

Если интегрируется неправильная рациональная дробь, сначала её нужно записать в виде суммы:

Неправильная рациональная дробь = = многочлен + правильная рациональная дробь.

З а д а ч а 1. Неправильную рациональную дробь запишите в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

□ Разделим числитель на знаменатель:

_
	(остаток)

Отсюда

■

Чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь, её тоже сначала нужно разложить:

Правильная рациональная дробь = сумма элементарных дробей.

З а д а ч а 2. Какой вид имеет разложение правильной рациональной функции

на сумму элементарных дробей?

□ Внимательно посмотрите на метод разложения:

=

+■

Буквы A, B, C, D, E, F, G обозначаютчисла, способ определения которых показан в задаче 3. Очевидно, вы заметили: в знаменателях правой части показатели степеней постепенно убывают.

З а д а ч а 3. Правильную рациональную функцию разложите на сумму элементарных дробей.

□ 1-й шаг - разложим знаменатель на множители:

Поэтому

2-й шаг - дробь разложим на сумму элементарных дробей:

(а)

3-й шаг – определим значения

Сначала обе части умножим на общий знаменатель

и раскроем скобки:

Теперь приравняем члены с одинаковыми степенями:

Сократим первое уравнение на второе – на третье – на 5:

Находим

4-й шаг - подставим эти числа в (а) и получим результат

■

З а д а ч а 4. Найдите интеграл

□ │Выполняем все шаги, указанные в решении задачи 3│=

■

Тренировка по теме «Элементарная дробь, её интегрирование»

Найдите интегралы.

1) 2) 3) 4)

5)

1) 2)

3) 4)

5)

1) 2)

3) 4)

5)

Дата добавления: 2014-01-20