Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Замена переменных в тройном интеграле




 

Как для двойных интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Замену переменных в тройном интеграле производят по следующему правилу.

Если ограниченная замкнутая область пространства взаимно однозначно отображается на область пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций , , и определитель в области не обращается в ноль:

, то справедлива формула:

.

В частности, при переходе от прямоугольных координат , и к цилиндрическим координатами , , связанным с , и формулами:

Рисунок 4

, , , поэтому

(1)

Название “цилиндрические координаты” связано с тем, что координатная поверхность (то есть поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси .

При переходе от прямоугольных координат , и к сферическим координатам , и связанным с , и формулами:

, , , поэтому

Рисунок 5

(2)

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (то есть поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является сферой. Сферические координаты иначе называют полярными координатами в пространстве.

При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области , используя геометрический смысл новых координат.

Пример 1. Вычислить интеграл: ,

где - область ограниченная поверхностями и (см. рисунок 6).

Решение: перейдем к цилиндрическим координатам, область проектируется на плоскость в круг , при этом изменятся в пределах от до , координата -от до .

Рисунок 6

Постоянному значению в пространстве соответствует цилиндр . Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью , получаем изменение координаты от значений для точек, лежащих на параболе до значений для точек, лежащих на плоскости , то есть от до . Применяя формулу (1) имеем:

.

Ответ: .

 

Трудно дать какую-либо общую рекомендацию, когда следует применить ту или иную схему координат это зависит и от области интегрирования, и от вида подынтегральной функции. Однако, например, формулой (2) удобнее пользоваться, когда имеет вид , а также когда область является шар или его часть.

Пример 2. Вычислить интеграл: , где - шар .

Решение: перейдем к сферическим координатам:

, .

.

По формуле (2) получаем:

.

Ответ: .

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 349; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.