Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление объемов тел




Криволинейным цилиндром с основанием D, лежащим в плоскости xOy, называется тело T, ограниченное этим основанием, некоторой поверхностью z=f(x,y) и боковой цилиндрической поверхностью (рис.1.20).

Объем V такого цилиндра определяется следующим образом: разбиваем основание D на определенное количество непересекающихся частей D. Затем разбиваем весь цилиндр T на цилиндрообразные части Ti, основания которых являются Di. Очевидно, что объем цилиндра T равен сумме объемов его частей Ti. Для нахождения объема части Ti выберем в Di некоторую точку (xi,yi) и заменим часть Ti с криволинейным верхним основанием цилиндром с постоянной высотой, равной f(xi,yi) и тем же основанием Di. Примем объем цилиндра Ti приближенно равным f(xi,yi)D si (D si – площадь Di). Тогда сумма

.

приблизительно равняется объему цилиндра. Ясно, что сумма s n представляет собой интегральную сумму функции f(x,y) по области D. В результате мы получаем, что двойной интеграл представляет собой объем соответствующего криволинейного цилиндра (в этом заключается геометрический смысл двойного интеграла).

Пример 1.11*. Найти интеграл , рассматривая его как предел интегральных сумм.

Решение. Разобьем область интегрирования на квадраты прямыми

и вычислим значение подынтегральной функции в правом верхнем углу каждого квадрата. Составим интегральную сумму

,

где . Тогда

.

Пример 1.12. Найти объем тела V, который получается в результате пересечения цилиндра и сферы (рис. 1.21).

Решение. Объем данного тела находим по формуле

,

где функция определена в круге, задаваемом неравенством

.

Итак, получаем

.

Переходя к полярным координатам, приходим к интегралу

.

Здесь – уравнение границы упомянутого круга в полярных координатах.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 390; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.