Расчет прямозубых цилиндрических передач на контактную прочность

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ.

1. Силы в зацеплении цилиндрических зубчатых передач.

Силы взаимодействия зубьев принято определять в полюсе зацепления. Распределенную по контактной площадке нагрузку в зацеплении заменяют равнодействующей F_n, нормальной к поверхности зуба. Эту силу удобно представить в виде составляющих F_t, F_r, F_а.

Окружная сила F_t = 2 10³Т/d;

Осевая сила F_a = F_t tgβ

На ведомом колесе направление окружной силы F_t совпадает с направлением вращения, на ведущем – противоположно ему.

Радиальная сила F_r = F_R tgα = F_t tgα /cosβ

Векторы радиальных сил у колес с внешним зацеплением направлены к оси, а у колес с внутренним зацеплением – от оси зубчатого колеса.

Контактная прочность зубьев является основным критерием большинства зубчатых передач.

В передачах без смещения a_w = (d₂ ± d₁)/2 = d₁(u ± 1)/2

Откуда d₁ = 2 a_w /(u ± 1) d₂ = 2a_wu/(u ± 1),

где u = d₂/d₁ – передаточное число передачи.

Наибольшее контактное напряжение в зоне зацепления определяют по формуле Герца:

ν_1,2 – коэффициенты Пауссона материалов контактирующих тел;

Е_1,2 – модули упругости материалов;

ρ_1,2 – радиусы кривизны контактирующих поверхностей;

b – длина линии контакта (длина цилиндров)

Силу F_n определяют по окружной силе с учетом коэффициента нагрузки. По результатам экспериментов для расчетов суммарную длину

b= l_Σ контактных линий определяют с учетом коэффициента торцевого перекрытия: F_n = K_H·Ft/cosα; b = l_Σ = 3b₂/(4 - ε_α).

Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами кривизны профилей зубьев в полюсе зацепления:

Подставим полученные значения в формулу Герца:

Σ(1/ρ_i) = 1/ρ₁± 1/ρ₂ = (ρ₂ ± ρ₁)/(ρ₂ρ₁) =

Обозначим:

Z_E = - коэффициент, учитывающий упругие свойства материалов сопряженных колес; Z_E = 191.6 МПа^0,5 для стальных колес при Е₁ = Е₂ = 2,1 10⁵МПа и ν₁ = ν₂ = 0,3.

Z_H = - коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе зацепления; Z_H = 2.5 при α_w = 20^о.

Z_ε = - коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий; Z_ε = 0.9 для прямозубых колес при ε_α = 1,6.

При этом получим расчетную зависимость в форме предусмотренной стандартом: ;

Заменив в формуле F_t = 2 10³Т₁/d₁; b₂ = ψ_bаа_w; d₁ = 2а_w/(u ± 1), последовательно получим

Решив относительно а_w получим а_w = ;

Обозначив К_а =

Формула проектировочного расчета цилиндрических зубчатых передач имеет вид: а_w = К_а

В соответствии со стандартом:

- для прямозубых передач К_а = 450 МПа^1/3;

- для косозубых и шевронных передач К_а = 410 МПа^1/3.

В целом межосевое расстояние косозубой цилиндрической зубчатой передачи примерно на 20% меньше межосевого расстояния прямозубой передачи.

При расчете цилиндрических передач значение коэффициента ширины зубчатого венца колеса ψ_ва = b₂/а_w задают. В зависимости от расположения шестерни относительно опор принимают: ψ_ва = 0,2 …0,5.

Формула для проверочного расчета:

Значения коэффициента Z_σ для цилиндрических стальных передач:

прямозубых Z_σ = 9600 МПа^1/2;

косозубых и шевронных Z_σ = 8400 МПа^1/2

При проектировочном расчете значение коэффициента расчетной нагрузки К_Н = 1,3 – задают ориентировочно. При проверочном расчете определяют его уточненное значение по известным размерам и степени точности передачи.

При выполнении проверочного расчета желательно достижение равенства σ_Н = [σ]_Н, так как при σ_Н > [σ]_Н – возможно занижение ресурса передачи, а при σ_Н < [σ]_Н завышение ее массы. Простейшим способом достижения σ_Н = [σ]_Н является изменение ширины зубчатого венца b₂. Контактная прочность зубьев колес зависит от материала и размеров передачи и не зависит от модуля и числа зубьев в отдельности. По условиям контактной прочности при данном а_w модуль и числа зубьев могут иметь различные значения, но с соблюдением условий: 0,5m(Z₁ + Z₂) = а_w и u = Z₂/Z₁.

3.Расчет зубьев цилиндрических передач на прочность при изгибе.

Вторым из двух основных критериев работоспособности зубчатых передач является прочность зубьев при изгибе. При выводе расчетной зависимости принимают допущения:

1. В зацеплении находится одна пара зубьев.

2. Зуб рассматривают как консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой F_n, приложенной к зубу в его вершине

Сила F_n действует под углом (90 – α^/) к оси симметрии зуба; угол α^/ несколько больше угла зацепления α_w. Для выявления напряженного состояния зуба силу F_n переносят вдоль линииN₁N₂ зацепления до пересечения с осью зуба в т. С. и раскладывают на составляющие, направленные вдоль оси зуба и перпендикулярно ей (рис. 2).

Под действием составляющей, направленной вдоль оси, в основании зуба действуют напряжения сжатия σ_сж = F_nsinα^//bS, эпюра которых показана на рис.3 (b- длина зуба). Точки А и В определяют положение опасного сечения зуба при изгибе. Зуб в этом сечении нагружен изгибающим моментом М = F_nh_рcosα^/, вызывающим действие напряжений σ_и: слева от оси – растяжения, справа – сжатия. Суммарные напряжения σ_Fном со стороны растянутых волокон (т.А) имеют меньшие значения, чем со стороны сжатых (т.В). Однако напряжения растяжения являются более опасными. Напряжения, наеденные без учета концентраторов, называют номинальными.

Определим номинальные напряжения изгиба – сжатия в т.А:

где W_x = bS²/6 - осевой момент сопротивления опасного сечения АВ.

Выразив силу F_n через окружную силу F_t с учетом коэффициента нагрузки K_F, получим:

, где F_n = K_FF_t/cosα_w

Опасное сечение АВ расположено в зоне концентрации напряжений, вызванной изменением формы на переходной поверхности в основании зуба. Местное напряжение в этом сечении превышают номинальные в α_Т раз:

σ_F = σ_Fномα_Т, где α_Т – теоретический коэффициент концентрации напряжений.

С учетом этого напряжения в опасном сечении

Плечо изгиба h_p и толщину зуба S выражают через модуль m

h_p = μm и S = λm, где μ и λ - коэффициенты, учитывающие форму зуба. Тогда

где - коэффициент, учитывающий форму зуба и концентрацию напряжений. Выбирается по таблице или графику.

Учитывая условие прочности σ_F < [σ]_F, получим формулу для проверочного расчета зубчатых передач по напряжениям изгиба:

,

где Y_β – коэффициент, учитывающий угол наклона зуба Y_β = 1 – β/100, при условии Y_β > 0.7; Yε - коэффициент, учитывающий перекрытие зубьев Y_ε = 1/ε_α = 1/1,6 = 0,65.

Для прямозубых зубчатых колес: Y_β = 1; Y_ε = 1 при степени точности 8,9;

Y_ε = 0,8 при степени точности 5, 6, 7. Y_FS1 > Y_FS2 так как зуб шестерни у основания более тонкий, чем зуб колеса. Для обеспечения примерно равной изгибной прочности сопряженных зубьев шестерню изготавливают из более прочного материала. Условие равной прочности на изгиб зубьев шестерни и колеса: [σ]_F1/Y_FS1~ [σ]_F2/Y_FS2

Заменив F_t = 2 10³T₁/d₁ u d₁ = 2a_w/(u ± 1), получим формулу для проверочного расчета зубьев по напряжениям изгиб и решим полученное неравенство относительно m:

Ширину b₁ венца шестерни выполняют на 2 – 4 мм больше ширины b₂ колеса для компенсации возможного осевого смещения зубчатых колес из-за неточности сборки. Это важно при приработке зубьев, когда более твердая шестерня перекрывает по ширине менее твердое колесо.

Приняв b = b₂ и обозначив K_m = 10³Y_FSY_βY_ε, получим расчетную зависимость для определения минимального значения модуля зубьев

m,

где К_m = 3.4 10³ – для прямозубых передач;

K_m = 2.8 10³ – для косозубых передач.

Вместо [σ]_F в формулу подставляют меньшее из [σ]_F1 u [σ]_F2.

Дата добавления: 2014-01-20