Систематические погрешности

Постулаты метрологии. Классификация погрешностей

Формула Байеса.

Пусть событие А, может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий (гипотез) В ₁, В ₂, В ₃, … В_n, образующих полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса:

Задача:

Решение:

Качество средств и результатов измерений принято характеризовать, указывая их погрешности. Введение понятия " погрешность " требует определения и четкого разграничения трех понятий: истинного и действительного значений измеряемой физической величины и результата измерения.

Истинное значение х_и физической величины – это значение, идеальным образом отражающее свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Оно не зависит от средств нашего познания и является той абсолютной истиной, к которой мы стремимся, пытаясь выразить ее в виде числовых значений. На практике истинное значение практически всегда неизвестно (в редких случаях оно может быть определено с применением первичных или вторичных эталонов), поэтому его приходится заменять понятием "действительное значение".

Действительное значение х_д физической величины – значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него. Действительное значение может быть получено при помощи рабочих эталонов.

Результат измерения (измеренное значение) х представляет собой приближенную оценку истинного значения величины, найденную путем измерения (результат, полученный с помощью рабочего средства измерения).

Изложенное позволяет сформулировать два постулата метрологии:

1. Истинное значение определяемой величины существует, и оно постоянно.

2. Истинное значение измеряемой величины отыскать невоз­можно. Отсюда следует, что результат измерения х, как правило, математически связан с измеряемой величиной вероятностной зависимостью.

При практическом использовании тех или иных измерений важ­но оценить их точность. Термин " точность измерений ", т. е. сте­пень приближения результатов измерения к некоторому действи­тельному значению, не имеет строгого определения и использу­ется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие " погрешность" (чем меньше погрешность, тем выше точность).

Понятие "погрешность " – одно из центральных в метрологии, а оценка погрешности измерений — одно из важных мероприятий по обес­печению единства измерений. В метрологии используются понятия " погрешность результата измерения " и " погрешность средства измерения ".

Погрешность измерения Δ x_изм – это отклонение результата из­мерения х от истинного (действительного) х_и (х_д) значения изме­ряемой величины:

Δ x_изм = х – х_и, или Δ x_изм = х – х_д.

Погрешность средства измерения - отклонение показания средства измерения от истинного (дей­ствительного) значения измеряемой величины. Оно характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством. Эти два понятия во многом близки друг к другу и классифицируются по одинаковым признакам.

Погрешность измерения включает в себя множество различных составляющих, которые можно классифицировать по различным призна­кам. В настоящее время классификация погрешностей содержит около 30 видов (см. пример классификации на рис 3.1).

Погрешности измерения можно разделить:

• по характеру (закономерностям) проявления или изменения от измерения к измерению – на случайные, систематические и грубые промахи,
• по формам числового выражения – абсолютные, относительные и приведенные;
• по источникам возникновения – на методические, инструментальные, субъективные (погрешности оператора), которые, в свою очередь, могут быть как случайными, так и систематическими;
• по характеру изменения во времени – на статические и динамические;
• по характеру принадлежности (близости) результатов наблюде­ний к основной совокупности выделяют грубые погрешности и промахи.
• по уровню имеющейся информации – определенные и неопределенные;
• по формам используемых оценок - среднее квадратическое значение, доверительные границы погрешности и др.;
• по возможности выявления и исключения из результатов измерения – на выявленные и невыявленные, устранимые и неустранимые, исключенные и неисключен­ные;

Рисунок 3.1 – Классификация погрешностей измерения.

Систематическая погрешность q – это составляющая погрешности измерения, которая остаётся постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях.

К систематическим погрешностям измерений можно отнести те составляющие, для которых можно считать доказанным наличие функциональных связей с вызывающими их аргументами. Для них можно предложить следующее определение: систематическая погрешность – закономерно изменяющаяся составляющая погрешности измерений.

Формально это записывается в виде

,

где – аргументы, вызывающие систематическую погрешность. Главной особенностьюсистематической погрешности являетсяпринципиальная возможность ее выявления, прогнозирования и однозначной оценки, если удается узнать вид функции и значения аргументов.

Одной из основных задач обработки результатов эксперимента является выяв­ление, оценка величины и, по возмож­ности, устранение всех систематических погрешностей. Изме­няющиеся систематические погрешности выявляются легче постоянных. Для выявления постоянной систематической погрешности необходимо выполнить измерения хотя бы двумя различными способами или мето­дами. Обнаруженные и оцененные систематические погрешности иск­лючаются из результатов путем введения поправок.

В зависимости от причин возникновения систематические погрешности подразделяют на следующие виды:

1. Погрешности метода или модели, которые обычно называют ме­тодическими погрешностями, например: определение плотности вещес­тва без учета имеющихся в нем примесей, использование формул, не совсем точно описывающих явление, и др.

2. Погрешности воздействия внешних факторов: внешних тепло­вых, радиационных, гравитационных, электрических и магнитных по­лей.

3. Погрешности, возникающие из-за неточности действий или личных качеств оператора (экспериментатора), называемые субъективными погрешностями.

4. Инструментальные (приборные, аппаратурные) погрешности, обусловленные схемными, конструктивными и технологическими несовершенствами средств из­мерения, их состоянием в процессе эксплуатации. Например, смещение начала отсчета, неточность градуиров­ки шкалы прибора, использование прибора вне допустимых пределов его эксплуатации, неправильное положение прибора и т. п. За исключением смещения начала отсчета, приборные погрешности относятся к разряду неустранимых погрешностей.

В общем случае систематическая погрешность обусловлена сум­марным воздействием перечисленных факторов, многие из кото­рых невозможно рассчитать, подавить или выявить в данном экспери­менте. Самым простым способом выявления суммарной систематической погрешности было бы сопоставление результатов измерений, получен­ных с помощью серийного (рабочего) и более точного образцового приборов. Разность результатов измерений даст суммарную система­тическую погрешность, вносимую серийным прибором в результат из­мерения. Однако такой способ выявления систематической погрешнос­ти является слишком дорогим. Поэтому на практике различные составляющие систематической погрешности пытаются устранить с помощью экспериментальных или математических приемов путем введения поправок в результаты наблюдений при условии, что погрешность дан­ного вида по величине и знаку известна. После внесения поправок влияние систематической погрешности данного вида на результат и погрешность измерения устраняется полностью. Если же системати­ческая погрешность неизвестна, но имеет известные границы изменения, то её учитывают в результате измерения.

В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на элементарные и изменяющиеся по сложному закону.

Элементарные погрешности можно условно разделить на постоянные, прогрессирующие (прогрессивные) и периодические. Прогрессирующими называют монотонно возрастающие или монотонно убывающие погрешности. Периодические погрешности – погрешности, изменение которых можно описать периодической функцией. Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, образуются при объединении нескольких систематических погрешностей.

Постоянные систематические погрешности представлены в графической форме на рисунке 3.2 а (, или ), а переменные – на рисунке 3.2 б – е. Простейшие переменные систематические погрешности, которые аппроксимируют графиками без перегибов (монотонно изменяющиеся или прогрессирующие) показаны на рисунке 3.2 б – г, а периодические или гармонические погрешности – на рисунке 3.2 е.

Всем известны "спешащие" и "отстающие" часы, погрешности которых прогрессируют во времени, но мало кто анализирует показания часов за полный оборот стрелки. Если оценивать погрешности, то можно утверждать, что в результате многократного повторения вращения стрелки часов должны проявляться периодические погрешности, обусловленные эксцентриситетом и превращающиеся в нуль при завершении каждого полного оборота.

Рисунок 3.2 - Виды простейших систематических погрешностей: а – постоянные, б, в – прогрессирующие (линейная и нелинейная), г, д – прогрессирующие нелинейные (предложены варианты аппроксимации прямыми линиями), е – периодические (гармонические).

Обычно для описания и для аппроксимации систематической погрешности подбирают наиболее простую функцию, например линейную для прогрессирующей погрешности. Такой же упрощенный подход применяют и для аппроксимации гармонической систематической погрешности, которая может быть описана как синусоида, косинусоида, пилообразная либо другая периодическая функция.

Систематическая погрешность может иметь не только элементарный, но и более сложный характер, который можно аппроксимировать функцией, включающей приведенные простые составляющие.

Сложная систематическая погрешность, включающая постоянную, прогрессирующую и периодическую составляющую, в общем виде может быть описана выражением

,

где – постоянная составляющая сложной систематической погрешности; – соответственно аргументы прогрессирующей и периодической составляющих сложной систематической погрешности.

Дата добавления: 2014-01-20