Объём тела

Объём теламожно найти по одной из следующих формул:

	Здесь площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси (рис. 4.1).	(4.1)
	Объём тела вращения вокруг оси (рис. 4.2).	(4.2)

Рис. 4.1 Рис. 4.2

¨ Дано тело и ось в пространстве (рис. 4.1).

Плоскостями, перпендикулярными оси мысленно рассечём на ломтики бесконечно малой толщины Посмотрите на один такой кусочек (рис. 4.3). Из-за малости площадь сечения не успевает заметно измениться, поэтому считаем постоянной на участкеЛомтик представляет собой цилиндр с основанием и высотой Его объём равен Проинтегрировав это выражение, получим формулу (4.1).

Когда фигура вращается вокруг оси (или вокруг какой-нибудь другой прямой), получается тело вра- Рис. 4.3

щения вокруг оси (рис. 4.2). В сечении, перпендику-

лярном оси будет круг Его радиус равен поэтому площадь Подставив в (4.1), получим (4.2). ■

З а д а ч а 1. Найдите объём шарового сегмента высотой h, отсечённого от шара радиуса R.

□ Нарисуем систему координат как показано на рис. 4.4.

П е р в ы й с п о с о б. Уравнение сферы (поверхности шара) таково:

Между точками M и R возьмём произ­вольную точку и проведём через неё

плоскость перпендикулярно Oz.

В сече­нии получится круг. Уравнение

окружности, ограничивающей этот круг

Значит, радиус этого круга

а площадь

Так как а точка находится на

высоте то

По формуле (4.1) получаем

Итак, объём шарового сегмента равен

Рис. 4.4

В т о р о й с п о с о б. Шаровой сегмент

представляет собой тело вращения вокруг оси Лежащая на плоскости линия (часть окружности) имеет уравнение Отсюда где По формуле (4.2) будем иметь ■

Заметим, что если получится объём всего шара.

З а д а ч а 2. Найдите количество бетона, необходимого для возведения опоры моста в виде усечённого конуса. Размеры опоры: высота Н, радиус нижнего ос­нования R, радиус верхнего основания r.

□ Усечённый конус представляет собой тело вращения, получаемое при враще­нии трапеции вокруг оси (рис. 4.5). На высоте радиус попереч­ного сечения равен

(из подобия треугольников и где По формуле (4.2) будем иметь

Получилась известная формула объёма усе­чённого конуса. Итак, количество необходимого бетона

■

В частности, если м, м, м, плотность то потребуется бетона.

Рис. 4.5 Рис. 5.1

Тренировка по теме «Объём тела»

Найдите объём тел.

а) Тело ограничено параболическим цилиндром и плоскостями

1) 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

б) Тело образовано вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

1) 2) 3) 4) 5)

5. Некоторые физические задачи

Дата добавления: 2014-01-20