КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Основные методы интегрирования
К основным методам интегрирования относятся: метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Метод замены переменной (метод подстановки) 1. Метод подведения по знак дифференциала – частный случай метода замены переменной. Данный метод прост и применяется в большом количестве интегралов. В основе данного метода лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое гласит: если то где произвольная дифференцируемая функция от x. Рассмотрим один из табличных интегралов По свойству 6 эта формула остается справедливой не только в случае, когда x –независимая переменная, но и тогда, когда вместо x стоит некоторая дифференцируемая функция. Например, Аналогичная ситуация имеет место и для других формул: Пример 7.3. Вычислить интеграл Решение. Что мешает применить степенной интеграл (1) для Понятно, что если бы под знаком дифференциала стояло выражение , а не x, то такой интеграл был бы табличным. Вопрос: возможно ли заменить на Ответ – да, по свойству дифференциала: На основании этого свойства Значит, Пример 7.4. Вычислить интеграл Решение. Для применения табличной формулы степенного интеграла при необходимо, чтобы под знаком дифференциала стояло выражение вместо x. Вопрос: возможно ли заменить на Ответ– да, по свойству дифференциала: или На основании свойств дифференциала . Следовательно В рассмотренных выше примерах дифференциал изменялся на основании его свойств, т.е. вместо под знак дифференциала подводилась некоторая линейная функция вида , где и некоторые числа, причем . Обобщим это в виде теоремы. Теорема 8.2. Пусть одна из первообразных для . Тогда где и некоторые числа, причем .
Доказательство. Для доказательства равенства возьмем производную от правой части формулы(..) и покажем, что она равна подынтегральной функции: Теорема доказана. При сведении интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала – «подведение под знак дифференциала». Пример 8.1. Найти интегралы а) б) Решение. а) Подведем функцию под знак дифференциала. Имеем: б) Подведем функцию под знак дифференциала. Имеем: Итак, цель метода подведения под знак дифференциала состоит в видоизменении дифференциала, стоящего под интегралом, за счет использования свойств дифференциала. 2. Метод подстановки или метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, путем введения новой переменной интегрирования удается вести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительной легко вычисляется непосредственно. Метод замены переменной основан на следующей теореме. Теорема 8.3. Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке . Тогда если первообразная для на , то выполняется равенство Даная теорема называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Замечание 1. В практике интегрирования применяются подстановки вида , т.е. новая переменная интегрирования вводится как некоторая функция переменной х. Замечание 2. При нахождении интеграла методом замены переменной необходимо в полученном после интегрирования результате обязательно вернуться к старой переменной. Пример 8.3. Найти интеграл Решение. Введем новую переменную Такая замена обусловлена попыткой избавиться от корня в знаменателе подынтегрального выражения. Теперь необходимо перейти к старой переменной x. Для этого в последнее выражение подставим окончательно имеем Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и свести его к табличному.Полезно запомнить следующие подстановки:
Число замен, которые могут быть применены при вычислении неопределенных интегралов велико и, конечно, обо всех рассказать не представляется возможным. Метод интегрирования по частям
Пусть функции и имеют непрерывные производные на промежутке Найдем дифференциал произведения этих функций: Поэтому, получим или Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим , по свойству неопределенного интеграла?номер Эта формула называется формулой интегрирования по частям и составляет основу метода интегрирования по частям. Суть данного метода состоит в том в том, что при нахождении интеграла подынтегральное выражение представляют в виде произведения множителей и , при этом обязательно входит в . Затем находят интегралы и Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных интегралов более проста, чем задача нахождения заданного интеграла. Пример 8.5. Найти интеграл Решение. Применим к данному интегралу формулу интегрирования по частям, для этого за u обозначим x, а все остальное за . Получим Заметим, что при нахождении v достаточно найти какую-нибудь одну из первообразных. Удобно считать C= 0. Замечание.. Интегрирование по частям можно применять последовательно несколько раз в одном и том же примере. Замечание. При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и . Замечание. Существуют целые классы интегралов, которые вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям. Приведем ряд интегралов, которые находятся этим методом. Рассмотрим интеграл вида 1. Пусть многочлен степени n, а одна из следующих функций: т.е. (число). Рекомендуют положить и применить метод n раз. Пример 8.6. Вычислить Решение. Пусть многочлен степени n, а одна из следующих функций: т.е.
. Рекомендуют положить Пример 8.7. Вычислить Решение. 3. Пусть , а одна из следующих функций: т.е. . Возможно любое разбиение, при этом формула интегрирования по частям будет применяться дважды. Затем получим уравнение, в котором в качестве неизвестного выступает вычисляемый интеграл.
Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 3154; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |