Площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию - фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной функции f(x), заданной на сегменте [a,b], ординатами, проведенными в точках а и b и отрезком оси Ох между точками а и b.

Теорема. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь Р которой может быть вычислена по формуле

.

Замечание 1. Если функция f(x) непрерывна и знакопеременна на сегменте

[a,b], то определенный интеграл будет давать алгебраическую сумму площадей, заключенных между осью Ох, графиком функции f(x) и

ординатами x=a, x=b. При этом площади над осью Ох будут получаться со знаком «+», а под осью Ох со знаком «-».

Для того, чтобы получить сумму этих площадей в обычном смысле, нужно вычислить . Так, сумма заштрихованных на рисунке площадей равна

.

Замечание 2. Площадь, заключенная между двумя кривыми

y1=f1(x), y2=f2(x) и двумя ординатами: х=а, х=b в том случае, когда одна кривая лежит над другой, т.е. f2(x)³f1(x) на сегменте [a,b], выражается интегралом .

Если обе кривые лежат над осью Ох, то из чертежа видно, что

.

В общем случае, если кривые как угодно расположены относительно оси Ох, можно прийти к разобранному, если передвинуть ось Ох насколько вниз, чтобы обе кривые оказались над осью Ох. В этом случае к обеим функциям f₂(x) и f₁(x) прибавляется одно и то же постоянное слагаемое, причем разность f₂(x)-f₁(x) остается без изменения.

Дата добавления: 2014-01-20