Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме

(1)

(2)

(3)

(4)

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и связаны так:

. (5, 6, 7)

Для однородных изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред формулы связи, выражаемые пятым, шестым и седьмым уравнениями, являются достаточно простыми:

(5’, 6’, 7’)

Третье и четвёртое уравнения Максвелла представляют собой теоремы Гаусса для электростатического и магнитного полей. Физический смысл этих уравнений состоит в следующем: источником электростатического поля являются свободные и связанные заряды; в природе отсутствуют магнитные заряды, т.е. линии вектора В магнитного поля являются замкнутыми.

Пятое и шестое уравнения Максвелла вводят векторы электрической индукции (электрического смещения) D и напряжённости Н магнитного поля, которые в отличие от истинных векторов E и B являются вспомогательными, вводимыми для удобства описания полей в присутствии вещества.

Седьмое уравнение Максвелла представляет собой закон Ома в дифференциальной форме, где g - удельная проводимость вещества.

Наиболее удобной является полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Полная система уравнений Максвелла играет в электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике.

§ 9. Электромагнитные волны

Этот парагграф перенести в раздел Колебания и волны

Следствием теории Максвелла является существование электромагнитного поля в виде электромагнитных волн (ЭМВ). ЭМВ – процесс распространения электромагнитного поля в пространстве. В основе образования ЭМВ лежат взаимные превращения электрического и магнитного полей: переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве переменное электрическое ноле, и это изменяющееся электрическое поле также создаёт в окружающем пространстве переменное магнитное поле и т.д. Процесс образования переменных электрического и магнитного полей охватывает всё новые и новые области пространства - в пространстве распространяется ЭМВ (рис. 3.8, здесь источником ЭМВ является текущий по проводнику переменный электрический ток ).

Рис. 3.8

Решающую роль в утверждении максвелловской теории сыграли опыты Герца, согласно которым электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде волн, поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.

Волновое уравнение для векторов и . Следствие уравнений Максвелла: векторы напряженностей и переменного электромагнитного поля для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов удовлетворяют волновым уравнениям:

, (9.1)

где (9.2)

оператор Лапласа, u— фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные полямогут действительно существовать в виде электромагнитных волн.

Свойства электромагнитных волн:

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны поперечны: векторы Е и В перпендикулярны к направлению распространения волны.

Закон изменения векторов Е и В в электромагнитной волне задается характером электромагнитных колебаний в излучающей антенне.

Электромагнитная волна называется плоской, если ее фазовая поверхность—плоскость.

Фазовая поверхность — поверхность, во всех точках которой векторы Е (или В) колеблются в одинаковых фазах.

Если модуль и направления вектора Е (равно как и вектора В) во всех точках фазовой поверхности одинаковы, то волна называется однородной.

Если векторы Е и В в плоской волне изменяются по гармоническому закону, волна называется гармонической.

Фазовая скорость электромагнитных волн – скорость перемещения данной фазовой поверхности, зависит от диэлектрической и магнитной проницаемости среды: , где скорость света в вакууме.

Мы видим, что в вакууме фазовая скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света.

Векторы и напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему.

Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

.

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

Пусть плоская однородная гармоническая электромагнитная волна распространяется вдоль положительного направления оси х. Уравнения этой волны в векторном виде записываются следующим образом:

E = E _mcosw(t – x/u), (9.3)

B = B _mcosw(t – x/u), (9.4)

гдe E _m=Е_m j, B _m=B_m k, (E_m, B_m) — амплитуды векторов Е, В;

j, k — орты осей у, z;

w – угловая частота колебаний Е и В; х — координата точки наблюдения; u – фазовая скорость волны. Уравнениям (91.3) — (91.4) обычно придают следующий вид:

E=E_mcos{wt – kx), (9.5)

B = В_mcos(wt – kx), (9.6)

где k =w/u=2p/l - волновое число.

На рис.3.9 изображена «мгновенная фотография» плоской гармонической электромагнитной волны.

рис.3.9

Как видно из рисунка и из уравнений (9.5), (9.6), колебания векторов Е и В происходят в фазе: Е и В одновременно достигают максимума и одновременно проходят через нуль.

Гармоническая электромагнитная волна характеризуется частотой, периодом и длиной.

Период Т — время, в течение которого вектор Е (или В) в электромагнитной волне совершает одно полное колебание.

Частота n — число полных колебаний за единицу времени.

Длина волны l— расстояние, на которое волна распространяется за один период:

(9.7)

Электромагнитная волна материальна. Она обладает массой, энергией, импульсом.

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического и магнитного полей. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны .

Для характеристики переноса энергии электромагнитной волной вводят понятие потока энергии.

Поток энергии Ф _w через поверхность S — энергия, протекающая через S за единицу времени.

Распределение потока энергии по поверхности характеризует плотность потока энергии— векторная физическая величина, численно равная энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны, и совпадающая с направлением фазовой скорости волны. Вектор плотности потока энергии называется вектором Умова-Пойнтинга . Направление вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.

Масса электромагнитной волны, заключенная в некотором объеме V, может быть вычислена по формуле теории относительности о соотношении массы и энергии:

W=mc² (9.16)

В частности, масса, заключенная в единице объема (средняя плотность материи в электромагнитной волне) r, равна

(9.17)

где – средняя плотность энергии волны.

Импульс некоторого объема электромагнитной волны

k =m c (в вакууме),

k =m u (в среде).

Электромагнитная волна, встречая на своем пути тела, оказывает на них давление. Пусть плоская волна падает на плоскую поверхность тела перпендикулярно к поверхности (рис. 3.10).

рис.3.10

Электрическое поле волны вызовет в этом теле ток (проводимости или поляризации). Магнитное поле волны будет действовать на этот ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. Пусть рассматриваемое тело полностью поглощает падающую на него волну. Тогда импульс, передаваемый волной поверхности тела S за время D t, равен тс, где т — масса волны, заключенная в прямой призме с основанием S и высотой c D t (см. рис. 3.10). Импульс тс равен <f>Dt, где < f > — средняя сила, действующая на площадку S:

mc=<f> D t. (9.18)

Энергия электромагнитной волны, заключенная в объеме Sc D t, равна, с одной стороны,

W=mc² (9.19)

с другой,

W=<w>Sc D t, (9.20)

где <w> — средняя плотность энергии волны.

Из (9.19) и (9.20) находим т и подставляем в (9.18):

< w >S= <f>

Разделив <f> на S, найдем давление:

(9.21)

Если тело частично отражает волну и k — коэффициент отражения, то давление равно

p =(1+ k)< w > (9.22)

(коэффициент отражения показывает, какая доля падающей на тело энергии отражается).

Для абсолютно отражающего тела k= 1и

p =2< w >. (9.23)

Если волна падает на поверхность под углом i к нормали, то

p =(1+ k)< w >cos i. (9.24)

При прохождении через границу раздела двух сред электромагнитная волна испытывает преломление. Электромагнитные волны могут интерферировать, дифрагировать. Электромагнитные волны могут быть поляризованными (обо всем этом пойдет речь в следующей части курса).

Теория Максвелла сыграла выдающуюся роль в развитии физики. Эта теория не только объяснила большую совокупность опытных фактов, но и предсказала вплоть до количественных оценок существование неизвестных ранее явлений, таких как давление электромагнитных волн, электромагнитная природа света и др.

Основная литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики Т.2 М.,1982

2. Сивухин Д.В. Электричество. - М.: Высшая школа, 1985, 688 с.

3. Калашников С.Г. Электричество. Учебное пособие. - М.: Наука, 1985, 592 с.

Дополнительная литература

1. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1989, 463 с.

2.Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1991, 203 с.

3. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. - М.: Иностранная литература, 1984.

этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.

Дата добавления: 2014-01-20