Примеры распределения случайных величин

Характеристики оценки измеряемой величины

Задачей измерения является нахождение по полученным результатам наблюдений наилучшей оценки измеряемой величины – результата измерения и оценка точности этого результата, т.е. его близости к истинному значению. Эта задача решается путем нахождения оценок параметров распределения случайной величины, которым она описывается. Для того, чтобы оценку, получаемую по статистическим данным, т.е. по результатам многократных наблюдений, можно было использовать (при отсутствии систематических погрешностей) в качестве параметра функции распределения случайной величины, она должна отвечать ряду требовани — быть состоятельной, несмещенной и эффективной.

Состоятельная оценка – это оценка, которая при увеличении числа наблюдений стремится к истинному значению измеряемой величины.

Несмещенная оценка - оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемой величины.

Эффективная оценка – оценка, имеющая наименьшую дисперсию по сравнению с любой другой оценкой данного параметра.

Методы нахождения оценок параметров распределений, а по ним и результатов измерений зависят от вида функции распределения и от тех соглашений по обработке результатов измерений, которые нормируются в рамках законодательной метрологии в нормативной документации.

Как правило, результаты наблюдений и погрешности группируются симметрично относительно некоторого центра симметрии распределения. Поэтому случайная погрешность оценивается в виде интервала, симметричного относительно этого центра. Существует несколько способов его нахождения. Наиболее общим способом является нахождение такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значения случайных погрешностей равны между собой и составляют 0,5. Такое значение центра симметрии называется медианой.

Значение его может быть определено и как центр тяжести распределения – математическое ожидание случайной величины.

Если форма распределения не симметрична, то центр распределения может определяться как координата максимума кривой распределения, т.н. мода распределения.

Способы нахождения оценок измеряемой величины зависят от вида функции распределения наблюдений. Однако на практике такие функции, как правило, неизвестны. Если же случайный характер результатов наблюдений обусловлен погрешностями измерений, то полагают, что наблюдения имеют нормальное распределение. Это обусловлено тем, что погрешности измерений складываются из большого числа небольших возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. Согласно же центральной предельной теореме распределение бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями имеет нормальное распределение. Нормальное распределение для случайной величины х с математическим ожиданием и дисперсией s имеет вид:

Реально даже суммарное воздействие сравнительно небольшого числа возмущений приводит к распределению результатов и погрешностей, близких к нормальному. Если же предположение о нормальности распределения отвергается, то статистическая обработка наблюдений существенно усложняется. В настоящее время в таком случае невозможно рекомендовать общую методику статистической обработки наблюдений. Часто даже не известно, какая характеристика распределения может служить эффективной оценкой истинного значения измеряемой величины.

Выше приведено нормальное распределение для случайной величины. Переход к нормальному распределению погрешностей осуществляется переносом центра распределений в и откладывания по оси абсцисс погрешности .

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: и s.

Несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой для группы из n наблюдений является среднее арифметическое . Нужно сказать, что среднее арифметическое дает лишь оценку математического ожидания результата наблюдений и может быть оценкой истинного (действительного) значения измеряемой величины только после исключения систематических погрешностей.

Оценка дисперсии дается формулой:

Cвойства нормального распределения:

1. симметричность, т.е. погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто;

2. математическое ожидание случайной погрешности равно нулю;

1. малые погрешности более вероятны, чем большие;

4. чем меньше s, тем меньше рассеяние результатов наблюдений и больше вероятность малых погрешностей.

Другим распространенным распределением случайной величины является равномерное распределение — распределение, при котором случайная величина принимает значения в пределах конечного интервала от х₁ до х₂ с постоянной плотностью вероятностей.

Дифференциальная функция равномерного распределения имеет вид:

f(x) = с при х₁ £ x £ х₂

f(x) = 0 при х₂ < x < х₁

При нормировке площади кривой распределения на единицу, получаем, что с(х₂ – х₁) = 1 и с = 1/ (х₂ – х₁).

Равномерное распределение характеризуется математическим ожиданием

, дисперсией или СКО

Кроме рассмотренных примеров распределений случайных величин, существуют важные для практического использования распределения дискретных случайных величин, например, биномиальное распределение и распределение Пуассона. Однако, в настоящем курсе они не рассматриваются.

Дата добавления: 2014-01-20