Построение доверительных интервалов

Как говорилось выше, одним из принципов нормирования погрешностей является указание предела допускаемых погрешностей, т.е. погрешностей, значения больше которых при решении данной измерительной задачи появиться не могут. Но такая оценка не содержит информации о характере распределения случайных погрешностей, а арифметическое суммирование предельных погрешностей может необоснованно завысить действительную погрешность измерений. В связи с этим более корректными являются оценки погрешности случайной величины с помощью доверительных интервалов.

Симметричный интервал в границами ± Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности с доверительной вероятностью Р, если площадь кривой распределения между абсциссами – Δх и + Δх составляет Р -ю часть всей площади под кривой. При нормировке всей площади на единицу Р представляет часть этой площади в долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от -Dх(Р) до +Dх(Р) с заданной вероятностью Р встречаются Р ×100% всех возможных значений случайной погрешности.

Доверительный интервал находится по формуле:

где коэффициент t зависит от Р и формы закона распределения.

Для нормального распределения существует следующее соотношение между доверительными интервалами и доверительной вероятностью:

1s(Р=0,68), 2s (Р= 0,95), 3s (Р= 0,997), 4s Р=0,999.

Доверительные вероятности для выражения результатов измерений и погрешностей в различных областях науки и техники принимаются разными. Так, в технических измерениях принята доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений принимают более высокие доверительные вероятности. В метрологии используют, как правило, доверительные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Точность измерений должна соответствовать поставленной задаче измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств. Недостаточная точность может привести к признанию годным на самом деле негодного измерения и принятию по его результатам ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.

При проведении многократных измерений величины х, подчиняющейся нормальному распределению, доверительный интервал может быть построен для любой доверительной вероятности по формуле:

где t_q – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений n и выбранной доверительной вероятности Р. Он определяется с помощью таблицы q -процентных точек распределения Стьюдента, которая имеет два параметра: k = n – 1 и q = 1 – P;

– оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического, которая определяется по формуле:

Доверительный интервал для погрешности Dх(Р) позволяет построить доверительный интервал для истинного (действительного) значения измеряемой величины, внутри которого она находится с доверительной вероятностью Р: при полученной ее оценке . Среднее арифметическое принимается равным оценке величины А в данной серии измерений. Повторив серию измерений мы получим другие значения как оценки величины . Доверительный интервал позволяет выяснить, насколько может измениться полученная в результате данной серии измерений оценка при повторной серии измерений в тех же условиях. Необходимо отметить, что доверительные интервалы строят для неслучайных величин, значения которых неизвестны. Такими являются истинное значение измеряемой величины и средние квадратические отклонения. В то же время оценки этих величин, получаемые в результате обработки данных наблюдений, являются случайными величинами.

Недостатком доверительных интервалов при оценке случайных погрешностей является то, что при произвольно выбираемых доверительных вероятностях нельзя суммировать несколько погрешностей, т.к. доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов. Суммируются дисперсии независимых случайных величин: D _å = å D_i или s_å =Ö`ås_i². Т.е., для возможности суммирования составляющие случайной погрешности должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными погрешностями.

Дата добавления: 2014-01-20