Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Математические модели и решаемые задачи

Задачи динамики

Запасы прочности, принятые в машиностроении, во многом определяются не погрешностями моделирования и расчетов, а неточностью определения фактических нагрузок. При этом основную погрешность вносит не учет динамической составляющей – переменной во времени части поверхностных и объемных сил. В настоящем разделе рассмотрим задачи динамики и принципы расчетов применительно к расчету стержней и стержневых систем. Эти принципы применимы и в самой общей постановке.

 

Учет динамики приводит к тому, что все параметры являются не функциями только координат, но еще и времени. Кроме граничных условий для решения необходимо еще знать и начальные условия, т.е. положение, скорость, ускорение и другие динамические параметры. Порядок системы разрешающих дифференциальных уравнений увеличивается, обыкновенные дифференциальные уравнения преобразуются в уравнения в частных производных. Аналитическое решение задачи становится практически невозможным, да и численное существенно усложняется как по алгоритмам решения, так и по необходимым ресурсам. Рассмотрим несколько примеров простых динамических моделей, для которых известно аналитическое решение..

· Растяжение- сжатие прямого стержня.

К действующим силам необходимо добавить силы инерции

и математическая модель становится

. (13.1)

Граничные и начальные условия определяются конкретной задачей. Например, стержень летит со скоростью V и ударяется о неподвижную

преграду. Выберем за начало отсчета (t=0) момент касания преграды.

Граничные условия: .

Начальные условия:.

Решение при таких условиях справедливо пока сохраняется контакт со стенкой, т.е.

.

После выполнения условия в момент начинается свободный полет стержня и условия меняются

, , т.е. начальными условиями являются распределение перемещений и скоростей в момент отрыва.

Трудности извлечения информации из такой модели очевидны. При алгоритм аналитического решения предложен Фурье.

 

· Изгиб прямого стержня

К действующим силам необходимо добавить силы инерции

и математическая модель становится

, , (13.2)

, .

Пример граничных и начальных условий рассмотрим на задаче о свободных колебаниях шарнирной балки, возбужденных начальным статическим прогибом .

Граничные условия:.

Начальные условия:

Решение подобных задач в некоторых случаях возможно по Фурье.

Очевидно, что задача даже о динамике плоского изгиба и растяжения прямого стержня при малых перемещениях будет существенно сложнее и может быть решена только численно. Поэтому на практике ограничиваются решением некоторых частных задач в приближенной постановке. Неточности учитываются коэффициентами запаса. Укажем эти основные задачи.

1.Определение (оценка) частот собственных колебаний. Важность этой задачи ясна из известного явления резонанса.

2. Оценка динамических добавок к статическим нагрузкам. Практически вычисляются коэффициенты (их называют динамическими коэффициентами или коэффициентами динамичности), на которые нужно умножить статические нагрузки чтобы учесть динамические составляющие.

Часто в этой части ограничиваются коэффициентами динамичности при ударе.

3. Исследование амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и решение задач виброзащиты. Здесь решается задача выбора таких параметров системы, чтобы избежать больших динамических составляющих нагрузки при вибрациях основания, на который закреплен объект, или вибраций, источником которых является движение самого объекта. Типичная задача первого типа – выбор параметров подвески автомобиля, второго – статическое или динамическое уравновешение механизма (подробно в курсе ТММ).

Основная трудность при решении динамических задач это необходимость решать дифференциальные уравнения в частных производных. Эта проблема обходится двумя способами.

· Разделением переменных в дифференциальных уравнениях и переходом к решению системы обыкновенных уравнений. В этом суть метода Фурье. Мы его рассмотрим на двух приведенных выше примерах. К сожалению, его удается реализовать в немногих частых случаях.

· Переходом к конечномассовым моделям. Реальная система с распределенной массой представляется как совокупность сосредоточенных масс, соединенных упругими элементами, т.е. модель физически (а не математически) переводится в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Очевидно, что с увеличением количества масс задача стремится к точному решению. Фактически этим же приемом численно решаются системы уравнений в частных производных – методом конечных разностей. Разница в только в степени дискретизации задачи.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Вынужденные колебания, неоднородные стержни, АЧХ | Конечномассовые модели
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 327; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.