Свойства двойных интегралов

Критерий интегрируемости

Критерий существования определённого интеграла формулировался в терминах сумм Дарбу, т.е. сумм вида,, где,, то есть - нижняя грань, а - верхняя грань значений при.

Рассуждая аналогично, рассмотрим для ограниченной на квадрируемом множестве функции числа, (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности функции на и, значит, на всех. Определим суммы Дарбу равенствами,. Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно, и. Ясно, что для любого разбиения при любом выборе точек выполнены неравенства между суммами Дарбу и интегральной суммой, соответствующей этому выбору точек:.

На рисунке изображены тела, объёмы которых равны суммам Дарбу.

Нижняя сумма Дарбу

Верхняя сумма Дарбу

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий существования двойного интеграла.

Теорема 1.1. Ограниченная на квадрируемом множестве функция интегрируема тогда и только тогда, когда

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема1.2. Если функция непрерывна на квадрируемом множестве, то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Свойство 1. Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции, а числа, то

.

Иными словами, интеграл - линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на объединении квадрируемых множеств, то

,

причем если площадь пересечения равна 0, то. (Аддитивность интеграла по множеству).

Свойство 3. Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция и, то.

Свойство 4. Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции и, то.

Свойство 5. Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция, причем.

Свойство 6. Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция, то функция – также интегрируемая, причем где т, М ограничивающие множество значений функции числа, то выполняются неравенства,

т.е. существует число, удовлетворяющее неравенствамдля которого

.

Если, кроме того, множество – связное* и- непрерывна на нём, то существует точка, для которой

.

Доказывать эти свойства мы не будем, поскольку их доказательства вполне аналогичны доказательствам свойств обычного интеграла.

В конце п.1.2. отмечено, что если - непрерывная на множестве функция, то - интегрируема на. Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа спрямляемых линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на, т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (на которых непрерывна и, значит, интегрируема).

*Примечание. Связным множеством на плоскости назовем такое множество, любые две точки которого можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве.

Дата добавления: 2014-01-11