Замена переменных в двойном интеграле

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных, где – непрерывны в некоторой области. Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что x и y – непрерывно дифференцируемые в Δ функции. Будем также использовать обозначения

.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение квадрируемых областей:. Кроме того, потребуем, чтобы всюду на области Δ не равнялся 0 якобиан отображения
.

Теорема 1.5. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции выполняется равенство

.

►Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку – непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области Δ прямыми, параллельными осям u и v. Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки

Далее, при

При малых производные, вычисленные в точках, мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке, поэтому и определённые выше векторы мало отличаются от векторов и, соответственно, и рассматриваемый четырёхугольник представляет собой «почти параллелограмм».

Как известно из курса линейной алгебры, площадь параллелограмма со сторонами

равна модулю определителя, составленного из координат этих векторов,

,

т.е равна. Поэтому при сделанном преобразовании координат интегральная сумма

близка по величине к интегральной сумме

.

Точнее говоря, можно доказать, что соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства, отличаются друг от друга на стремящуюся к нулю величину. Поэтому и интегралы совпадают.◄

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

§5. Переход к полярным координатам. Вычисление

Пусть требуется вычислить по области, которая задаётся в полярных координатах условиями

Сделаем замену переменных

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке (0,0) соответствует целый отрезок на оси. Однако и точка, и отрезок имеет нулевую площадь, и теорема, с учётом замечания, справедлива. Осталось вычислить якобиан преобразования.

Следовательно,

.

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример.

Пример. Найти.

Решение. — это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению,

.

Первый из интегралов — собственный, второй — сходится по 1-й теореме о сравнении, так как при справедливо неравенство,из которого следует, что, а интеграл, очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно,). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, т.е.

,

имеем

,

где — квадрат, а — четверти круга, соответственно, радиусов и. Так как, то по свойствам 2, 3 двойного интеграла

.

В интеграле перейдем к полярным координатам:

.

Аналогично,

и.

При стремлении к получаем, что

, то есть.

Глава 2. Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемое множество. Считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей. Разбиение на части также осуществляется кусочно- гладкими поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции, разбиения множества на части и для выбранных точек интегральную сумму

,

где обозначает объем части.

Определение. Пусть такое число, что.

Тогда мы говорим, что функция интегрируема на множестве, число есть интеграл функции по множеству и обозначаем это так:.

Как и в случае двойного интеграла, выполняются свойства 1-6. Полезное упражнение - переформулировать их для тройного интеграла.

Теорема 2.1. Ограниченная на кубируемом множестве функцияинтегрируема тогда и только тогда, когда

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема 2.2. Если функция непрерывна на кубируемом множестве, то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе кусочно-гладких поверхностей, лежащих на и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на.

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема 2.3. Пусть задана следующими неравенствами:

,

где — квадрируемая область на плоскости, непрерывные функции. Тогда

.

Замечание. Если область задана неравенствами, где — непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема 2.4. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и, причем функции — непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке.Пусть всюду в области

Пусть — непрерывная функция. Тогда

.

Как и для двойного интеграла, теорема остается верной в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Пример 1. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций:.

При этом якобиан равен

.

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями.

Якобиан преобразования равен

(разложение определителя по 3-й строке)

(выделение общих множителей у столбцов)

.

Часто используется интеграл (вы встретите его при вычислении двойных, тройных интегралов при переходе к сферическим или цилиндрическим координатам)

Сведем его к значениям эйлеровых интегралов см. приложение 3:

|=

Глава 3.Криволинейные интегралы

Дата добавления: 2014-01-11