Доказательство

Пусть для точек и твердого тела в некоторый момент времени имеем и , где — скорость точки , — скорость точки .

1). Покажем сначала, что в момент времени вектор будет коллинеарен прямой, проходящей через точки и .

Действительно, согласно формуле Эйлера имеем

.

Отсюда следует равенство

.

Из него находим

, (3.9.7)

т.е. вектор в момент коллинеарен указанной прямой.

2). Покажем, что если точка твердого тела находится на прямой, проходящей через точки и , то ее скорость будет равна нулю.

Ранее было доказано, что если точка находится на данной прямой в некоторый момент времени , то и при всех она будет находиться на ней при любых движениях твердого тела.

Поэтому в любой момент времени . Здесь

· — постоянная величина,

;

· , если точки и находятся по одну сторону
от точки ;

· , если точки и находятся по разные стороны
от точки .

По формуле Эйлера находим скорость точки в момент :

.

Поскольку в этот момент вектор коллинеарен , а вектор коллинеарен , то и векторы и коллинеарны. А потому и, следовательно, .

Таким образом, доказали, что все точки твердого тела, находящиеся на прямой, проходящей через точки и , будут иметь в момент времени скорости, равные нулю.

3). Покажем теперь справедливость утверждения 3) следствия.

Действительно, если в момент в (3.9.7)

, (3.9.7)

имеем , то тело будет находиться в мгновенном покое, поскольку и в указанный момент.

Если в момент , то тело совершает мгновенное вращение вокруг оси , ибо , а точки и имеют скорости, равные нулю.

При этом все точки твердого тела, принадлежащие оси , также имеют скорости, равные нулю. Следствие 6 доказано.

§10. Распределение ускорений в твердом теле
(формула Ривальса)

Дата добавления: 2014-01-11