Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Векторное кинематическое уравнение Эйлера




Кинематические уравнения Эйлера

1º. Связь углов Эйлера и их производных

 

 

Установим связь вектора угловой скорости твердого тела с производными от углов ориентации. В качестве углов ориентации выберем углы Эйлера .

Справедливо следующее равенство

 

. (4.4.1)

 

В нем:

 

– орт — направляющий вектор оси абсолютной системы координат;

 

– орт — направляющий вектор оси подвижной системы координат, связанной с твердым телом;

 

– орт — направляющий вектор линии узлов.

 

Соотношение (4.4.1) называется векторным кинематическим уравнением Эйлера.

 

1.2. Вывод векторного кинематического
уравнения Эйлера

 

В основу вывода векторного кинематического уравнения
Эйлера положим теорему о сложении угловых скоростей.

 

 

Обратимся к правилам ввода углов Эйлера для задания ориентации подвижной системы координат в абсолютном пространстве.

Напомним кинематическую схему ввода этих углов:

 

 
 


 

Углы вводились последовательными поворотами:

 

– на угол вокруг третьей оси (ось с направляющим ортом );

 

– на угол вокруг линии узлов, совпадающей с тем положением в плоскости, образованной первой и второй осью, которое (положение) займет первая ось после поворота на угол ; орт этой оси обозначался , причем ;

 

– на угол вокруг третьей оси, которая является неподвижной в теле; направляющий орт этой оси совпадает с ортом .

 

Такие последовательные повороты можно рассматривать как три составляющих движения:

 

· первое движение — это вращение системы вокруг оси относительно абсолютной системы ;

 

· второе движение — это вращение системы вокруг оси относительно первой подвижной системы ;

 

– третье движение — это вращение твердого тела вокруг оси относительно второй подвижной системы .

Отметим, что каждое составляющее движение является элементарным вращением вокруг одной оси, неподвижной в предшествующей системе координат.

 

Как было показано в кинематике твердого тела, каждое такое движение имеет вектор мгновенной угловой скорости вращения относительно предшествующей системы, коллинеарный оси вращения. Причем, проекция его на эту ось совпадает с производной по времени от угла поворота, т.е.

 

,

где — орт оси поворота, — угол поворота, , .

 

Применим приведенные здесь рассуждения к углам Эйлера. Будем иметь

.

 

Теперь для определения — вектора мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства применим теорему о сложении угловых скоростей

 

. (4.4.1)

 

Справедливость формулы (4.4.1) доказана.

 

1.3. Связь углов Эйлера и их производных
(кинематические уравнения Эйлера)

 

Запишем уравнение (4.4.1) в проекциях на связанные оси.

 

Для этого последовательно умножим скалярно на орты обе части равенства (4.4.1).

Учтем, что

,

,

,

.

 

В результате придем к трем равенствам

 

 

Разрешая относительно производных , получим систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

(4.4.2)

Система уравнений (4.4.2) называется кинематическими уравнениями Эйлера.

Они являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно функций , если считать в них проекции вектора на связанные оси заданными функциями времени.

2º. Общая схема построения
кинематических уравнений Эйлера

 

Вывод кинематических уравнений Эйлера, данный в п.1º, позволяет сформулировать общую схему построения кинематических уравнений, связывающих вектор угловой скорости с любыми другими углами ориентации и их производными по времени.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1428; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.