Равномерный закон распределения. Непрерывных случайных величин

Непрерывных случайных величин

Важнейшие распределения

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями н.с.в. Плотности распределения н.с.в. называют также законами распределений.

Непрерывная с.в.Х имеет равномерное распределение на отрезке [ а,b ], если её плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна 0. Из определения следует, что плотность распределения определяется равенством

и должна удовлетворять 2-м требованиям: 1) f(x)≥0, c>0;

2) (вместо отрезка [ а, b ] можно писать или , т.к. с.в.Х – непрерывна).

График плотности f(x) для равномерного распределения н.с.в.Х:

Пример 1: С.в.Х равномерно распределена на отрезке [2,7].

Записать плотность распределения f(x) этой с.в.

Найдем функцию распределения F(x) для с.в.Х, распределенной равномерно.

Согласно формуле , имеем

Т.о.,

График F(x)

Пример 2: С.в.Х равномерно распределена на отрезке [-3;2].

Найти функцию распределения F(x) этой с.в.

Пусть н.с.в.Х равномерно распределена на интервале (а;b). Найти вероятность попадания с.в.Х в интервал ( α;β), принадлежащий целиком интервалу (а;b). Согласно формуле вероятности попадания н.с.в. в промежуток

, имеем:

.

Итак,

Найдем числовые характеристики этого распределения.

ü математическое ожидание:

Согласно определению м.о. для н.с.в.

Итак,

ü дисперсия:

Согласно определению дисперсии для н.с.в.

Итак, .

Пример 3: Найти м.о. с.в.Х, равномерно распределенной на

отрезке [2,8].

Пример 4: Найти дисперсию с.в.Х, равномерно

распределенной на отрезке [4,6].

С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда по условиям опыта величина X принимает значения в конечном промежутке ( α;β) Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причем ни одно из значений не имеет преимуществ перед другими. Вот примеры такого рода:

1) X - время ожидания на стоянке автобуса (величина X равномерно распределена
на отрезке [0;/], где t— интервал движения между автобусами);

2) X - ошибка при взвешивании случайно выбранного предмета, получающаяся от
округления результата взвешивания до ближайшего целого числа (величина X
имеет равномерное распределение на отрезке [0,5;0,5], где за единицу принята
цена деления шкалы).

Дата добавления: 2014-01-11