Интерпретация двойственной задачи

Что отражает двойственная модель? Оказывается, она дает возможность оценить решение исходной (прямой) задачи. В рассматриваемом примере прямая задача состоит, фактически, в наилучшем использовании всех имеющихся ресурсов. Каждому варианту плана поизводства продукции соответствует свое использование ресурсов, а, следовательно, и их полезность или значимость. Под последним понимается степень влияния ресурса на результат. Так как каждому условию прямой задачи, отражающему использование ресурса, ставится в соответствие двойственная переменная, то именно она и является мерилом значимости этого ресурса.

Действительно, рассмотрим уравнение размерности условия двойственной задачи

[A][U]=[C].

Пусть, например, ресурс – фонд времени оборудования (сколько часов оборудование может быть загружено в течение планового периода). Тогда размерность двойственной переменной будет

.

Итак, U дает стоимость единицы ресурса в единицах критерия, то есть в нашем случае – прирост произведенной стоимости в рублях на каждый дополнительный час работы оборудования. Ниже, в теоремах двойственности, это будет показано строго математически. Поэтому двойственные переменные называют также теневыми ценами. Чтобы увидеть отличие теневой цены от рыночной, возьмем конкретные цифры. Пусть рыночная цена некоторого ресурса, полностью используемого в производстве, равна 500 руб/кг и 1 кг достаточно (при наличии других ресурсов) для выпуска дополнительной продукции на сумму 100000 руб. Тогда теневая цена этого ресурса равна 100000 руб. Если поставщик сорвал поставку данного ресурса, то он должен нести ответственность не в размере рыночной цены, а по теневой цене за каждую единицу недопоставленного ресурса. Такое предложение было высказано впервые Л. Канторовичем, который называл двойственные переменные объективно обусловленными оценками, сокращенно О.О.О. (объективные цены, складывающиеся в конкретной ситуации производства и потребления).

Таким образом, чем больше абсолютная величина двойственной переменной, тем выше значимость ресурса в полученном решении, и наоборот, более сильному влиянию ресурса на критерий соответствует большее значение двойственной переменной.

Теперь интерпретируем условия двойственной задачи. Если Ui – объективная цена за единицу ресурса, то левая часть неравенства двойственной модели представляет собой полные затраты на производство единицы продукции, а все неравенство отражает тот факт, что произведенная стоимость Ci не может превышать суммарных затрат.

Значимость ресурса эквивалентна его дефицитности. Поэтому критерий двойственной задачи можно интерпретировать как суммарную дефицитность ресурсов, которую следует минимизировать.

Другая трактовка заключается в том, что двойственная задача моделирует взаимодоговоренности Покупателя и Продавца ресурсов. Продавец готов продать свои ресурсы, отказавшись от производства продукции, если цены на них (Ui) будут такими, что он получит за ресурсы, расходуемые им на единицу продукции, не меньше Ci, то есть не меньше того, что он имел бы от производства этой продукции. Эти требования выражаются неравенствами двойственной задачи. С другой стороны, Покупатель стремится к таким ценам, которые минимизируют плату за все ресурсы. Это стремление и выражает критерий двойственной задачи.

Дата добавления: 2014-01-11