Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: “ Сведение задач теории игр

Лекция 14

к задачам линейного программирования”

Обозначим . Из определения нижней цены игры следует, что - наибольшее из тех чисел , для которых есть хотя бы один допустимый набор , удовлетворяющий неравенствам

Будем считать, что все элементы платежной матрицы неотрицательны (для этого их достаточно увеличить на одно и то же положительное число, оптимальные стратегии при этом не изменятся). Поделим все неравенства системы на и обозначим . Тогда, с учетом соотношения , получаем . Таким образом, задача по определению смешанных стратегий первого игрока сводится к следующей задаче линейного программирования.

 

,

 

.

Если есть решение задачи, то цена игры равна , а оптимальная стратегия игрока определяется из соотношений .

Несколько более удобно решать задачу по определению верхней цены игры и максиминной стратегии второго игрока. По определению нижней цены получаем, что есть наименьшее значение из тех , для которых выполняются неравенства

хотя бы для одного допустимого набора . Обозначая , получаем следующую задачу линейного программирования

,

.

Если решение задачи, то

, .

Задачи по определению максиминной стратегии перового игрока и минимаксной стратегии второго игрока являются двойственными по отношению друг к другу, поэтому, решив одну из задач, из соответствующей симплекс таблицы мы можем одновременно определить решение второй задачи.

Схема решения матричной игры с помощью симплексного метода:

1. Составляют пару двойственных задач линейного программирования, эквивалентных данной матричной игре.

2. Определяют оптимальные планы пары двойственных задач, используя симплексный метод.

3. Используя соотношение между планами пары двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры, находят решение матричной игры.

Пример 1. Рассматривается антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой и платежной матрицей (первый игрок - получатель платежа, - выбирает строку платежной матрицы, второй - плательщик, - выбирает столбец). Требуется свести нахождение смешанных стратегий второго игрока к задаче линейного программирования и найти цену игры.

Решение: Сведем задачу нахождения оптимальной стратегии второго игрока к задаче линейного программирования. Получаем:

,

, .

Приведем задачу к канонической форме

Запишем условия задачи в виде симплекс-таблицы

 

Базис
             
           
-1 -1 -1 -1      

 

Базис
   
   
   

 

Базис
   
   
   

 

Найдено следующее решение задачи линейного программирования:

, , , .

Переходя к вероятностям, получим

, , .

Одновременно мы нашли решение двойственной задачи: оптимальные значения двойственных переменных , содержатся в -строке в столбцах, отвечающих вспомогательным переменным и соответственно. Таким образом, , , .

Окончательно, , . Ответы совпали с ответами, полученными графическим способом.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Графический способ решения игры и | Лекция 15. Тема: “ Балансовые модели ”
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 305; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.