Решение систем линейных уравнений

Доказательство на дом.

Таким образом, первый способ основан на преобразовании совершенной к.н.ф. в сокращенную д.н.ф., во втором в качестве исходных рассматривается ряд к.н.ф., не содержащих отрицаний переменных и не являющихся совершенными.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b ₁, b ₂, … b_m — свободные члены.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c ₁, c ₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c ₁⁽¹⁾ = c ₁⁽²⁾, c ₂⁽¹⁾ = c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽¹⁾ = c_n ⁽²⁾.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

A x = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Дата добавления: 2014-01-11