Условие остановки

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности в упрощённой форме имеет вид:

Условия сходимости итерационного процесса. Для того чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.

Итерация Якоби.
Рассмотрим систему линейных уравнений:

Уравнения можно записать в виде:

Это позволяет предложить следующий итерационный процесс:

или (другой вид записи)

Покажем, что если начать с точки P₀ = (х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, х₃⁽⁰⁾) = (1, 2, 2), то итерация (3) сходится к решению (2, 4, 3). Подставим х₁ = 1, х₂ = 2, х₂ = 2 в правую часть каждого уравнения из (3), чтобы получить новые значения:

Новая точка P₁ = (х₁⁽¹⁾, х₂⁽¹⁾, х3⁽¹⁾) = (1.75, 3.375, 3), ближе, чем P₀.
Итерация, использующая (3), генерирует последовательность точек {P_k}, которая сходится к решению (2, 4, 3):

Итерация Гаусса-Зейделя.
Процесс итерации Якоби иногда можно модифицировать для ускорения сходимости.
Отметим, что итеративный процесс Якоби производит три последовательности – {х₁^(k)}, {х₂^(k)}, {х₃^(k)}. Кажется разумным, что х₁^(k+1) может быть использовано вместо х₂^(k). Аналогично х₁^(k+1) и х₂^(k+1) можно использовать в вычислении х₃^(k+1). Например, для уравнений из системы (1) это даст следующий вид итерационного процесса Гаусса-Зейделя, использующий (3*):

Такой итерационный процесс даст результаты:

k	x1	x2	x3
	1,75	3,75	2,95
	1,95	3,96875	2,98625
	1,995625	3,99609375	2,99903125
	1,999265625	3,999511719	2,999803906
	1,999926953	3,999938965	2,999982988
	1,999988994	3,999992371	2,999997124
	1,999998812	3,999999046	2,999999715
	1,999999833	3,999999881	2,999999957
	1,999999981	3,999999985	2,999999995
	1,999999997	3,999999998	2,999999999

Т. е. к точному решению мы пришли уже на 11-ом шаге итерации, а не на 19, как в итерации Якоби.

Дата добавления: 2014-01-11