Особые точки

Понятие особой точки имеет место для автономных систем вида (2). Особые точки, с механистической точки зрения, соответствуют положениям равновесия систем вида (1) или равновесным ее решениям. В этом смысле, такая точка при своем движении в фазовом пространстве, имеет проекции вектора скорости, равные нулю, то есть точка находится в покое[1] или движется равномерно относительно инерционной системы отсчета.

Таким образом, если известно, что точка является положением равновесия системы (2), то:

. (3)

Соотношения (3) фактически является определением, в соответствии с которым особые точки могут быть найдены, как решение системы (в общем случае нелинейной) алгебраических уравнений:

. (4)

Очевидно, что для линейной системы:

(5)

автоматически особой точкой (положением равновесия) является начало координат и других нет.

Здесь и далее, будем использовать обозначения: .

На плоскости, особой точкой системы

где функции и непрерывно дифференцируемы по обоим аргументам и , является такая точка , в которой , .

Особые точки линейных автономных систем дифференциальных уравнений имеют некоторую классификацию, которая связана с характером спектра ее матрицы. В частности, для классификации особых точек систем вида

необходимо найти корни характеристического уравнения

.

При этом имеем:

1. корни характеристического уравнения: и (одного знака), то особая точка – узел (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знаков собственных чисел – корней характеристического уравнения). Узел изображен на рисунке 1 а);

2. корни характеристического уравнения: и (разных знаков), то особая точка – седло (см. рисунок 1 б));

3. если корни комплексные с ненулевой вещественной частью, то особая точка – фокус (устойчивый или неустойчивый, в зависимости от знака вещественной части). Фокус изображен на рисунке 1 в);

4. если вещественные части комплексных корней характеристического уравнения нулевые (сами корни чисто мнимые), то особая точка – центр (см. рисунок 1 г);

5. для двух вещественных и равных корней характеристического уравнения не равных нулю имеет место особая точка, которая классифицируется как вырожденный или дикритический узел (см. рисунок 1 д и е);

6. в критическом случае, когда один или оба корня уравнения равны нулю (случай: ), то решения на плоскости изображаются параллельными прямыми.

Изображение фазовых траекторий (кривых, графически представляющих решения соответствующих систем на плоскости ) в случае узла, седла и вырожденного узла, необходимо, прежде всего, найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через особую точку (в случае седла они называются сепаратриссами). Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы, составленной из коэффициентов данной системы.

Замечание: Напомним, как определяется спектр (полный набор собственных чисел) матрицы и совокупность ее собственных векторов. Матрица

,

как линейный оператор, действуя как отображение на векторное пространство, некоторые векторы только деформирует (сжимает или растягивает) с некоторым коэффициентом деформации . Таким образом:

. (6)

Такие векторы называют собственными векторами, а соответствующие числа – собственными числами. Собственные числа образуют спектр.

Из (6), простыми алгебраическими преобразованиями получим

.

Получим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

, (единичная матрица),

которая неопределенна, так как собственный вектор матрицы может быть определен с точностью до направления.

Отсюда:

(7)

– характеристическое уравнение, записанное в векторной форме. В матричной форме (II.7) будет иметь вид:

. (8)

Заметим также, что, если раскрыть определитель в соотношении (8), то в итоге, после приведения подобных, получим алгебраическое уравнение й степени относительно параметра :

. (9)

И, как уже отмечалось, согласно основной теореме алгебры, (9) имеет ровно корней, вещественных и комплексных с учетом их кратности. Таким образом, спектр матрицы имеет ровно элементов (среди которых возможны и одинаковые).

Относительно множества собственных векторов это не совсем так. Дело в том, что совокупность собственных векторов, образует так называемое инвариантное пространство, и здесь учитываются только те векторы (а их бесконечное множество, так как каждый собственный вектор определяется с точностью до направления), которые линейно независимы в совокупности.

Вернемся к особым точкам и фазовым траекториям. В случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Для фокуса необходимо определить направление закручивания траекторий. Здесь, исследуется устойчивость этой точки по знакам вещественных частей собственных чисел и, далее, определяется направление, в котором происходит движение точек вдоль траектории вокруг особой точки. Для этого достаточно построить в какой-нибудь из них вектор скорости – он направлен по касательной к движению.

Дата добавления: 2014-01-11