Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ)

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка вида:

y^// + a₁(x)y^/ +a₂(x)y = f(x), (1)

где a₁(x), a₂(x), f(x) – заданные и непрерывные на (а, b) функции. Урав­нение вида:

у^// + a₁(х)у^/ + а₂(х)у = 0, (2)

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).

Общим реше­нием у уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения = c₁y + с₂у₂ соответствующего ему од­нородного уравнения (2), т. е. у = у* +. (3)

Покажем, что функция (3) является решением уравнения (1). Так как у* есть решение уравнения (1), а - решение уравнения (2), то получим:

(y^*)^// +a₁(x)(y^*)^/ + a₂(x)y^* = f(x) и ()" + a₁(x)()' + а₂(х)= 0.

В таком случае имеем:

(y* +)^// + a₁(x)(у* + )^/ + а₂(х)(у * + ) = (у^*)^// +а₁(х)(у^*)^/ + а₂(х) у^* + (()^// + a₁(x)()^/ + а₂(х)) = f(x) + 0 = f(x).

Это означает, что функция (y = у* +) является решением уравнения (1).

Покажем, что функция y = y* +с₁y₁ +с₂у₂ (4)

является общим решением уравнения (1). Для этого докажем, что из решения (4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

y(х_о) = y₀, у'(х₀) = у'_о. (5)

Продифференцировав функцию (4) и подставив начальные условия (5) в функцию (4) и ее производную, получим систему урав­нений:

где y₀ = у(x₀), у^/₀ = у'(x₀) с неизвестными с₁ и с₂. Определителем
этой системы является определитель Вронского W(x₀) для функции
y₁(х) и у₂(х) в точке х = х₀. Функции y₁(х) и у₂(х) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений, т. е. W(x₀) ≠ 0. Следовательно, система имеет единственное решение:

с₁ = с⁰₁ и с₂ = с⁰₂.

Решение у = у* + с⁰₁(х) + с⁰₂(х) является частным решением уравнения (1), удовлетворяющим заданным начальным условия­м (5). Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-11