И обратно, если сходится ряд (5), то сходится и ряд (4)

То сходится и ряд

, (5)

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Доказательство. Пусть ряд (4) сходится и имеет сумму , т. е. . Обозначим через сумму отброшенных членов ряда (4), а через сумму первых членов ряда (5). Тогда

, (6)

где — некоторое число, не зависящее от . Из равенства (6) следует

,

т. е. последовательность частичных сумм ряда (5) имеет предел, что означает сходимость ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , т. е. . Тогда из (6) следует

,

что означает сходимость ряда (4). Теорема доказана.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифмети­ческие действия.

Т е о р е м а 2. Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где — некоторое число, также сходится, и его сумма равна .

Доказательство. Пусть — частичная сумма ряда , а — частичная сумма

ряда . Тогда

.

Отсюда, переходя к пределу при , получаем

,

т. е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно

равны и , то и ряд сходится и его сумма равна .

Доказательство. Пусть и — частичные суммы рядов и , а —

частичная сумма ряда . Тогда

.

Отсюда, переходя к пределу при , получаем

,

т. е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно, . Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умно­жать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и ко­нечные суммы.

Дата добавления: 2014-01-11