Билет16.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. Функция называется оригиналом, если:

1) ;

2) - кусочно-гладкая кусочно-непрерывная функция;

3) существует показатель роста, т. е. найдутся такие числа и,что. (*)

Наименьшее из чисел или предел, к которому стремится наименьшее число, для которого справедливо равенство (*), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается . В дальнейшем под изображением будем понимать:.

Такое уточнение изображения никак не сказывается на выполнении прямого и обратного преобразования Лапласа. Оно проявляет себя лишь в некоторых свойствах преобразования Лапласа.

Теорема 1.

Если является оригиналом, то изображение определено в области и является в этой области аналитической функцией.

Первая часть теоремы, утверждающая существование изображения в области , непосредственно следует из обобщенного преобразования Фурье. Докажем, что изображение в этой области является аналитической функцией. продифференцируем по s

.

Переходя к дифференцированию под знаком интеграла, получим

.

Покажем, что интеграл существует. Оценим

Т. о. получили, что интеграл существует, следовательно, производная существует при можно взять сколь угодно близким числу . Отсюда следует, что существует в области Теорема доказана.

Теорема 2(основная теорема об обратном преобразовании Лапласа).

Если функция является оригиналом, а - изображение функции , то в каждой точке t непрерывности функции

Доказательство этой теоремы следует из обобщенного преобразования Фурье. Она уточняет, что обратное преобразование Лапласа сходится к только в точках непрерывности функции . В точках разрыва обратное преобразование Лапласа сходится к среднему значению.

Билет17.1. Линейность преобразований.

Теорема 1.

Если функция f₁(t) и f₂(t) являются оригиналами и имеют, соответственно, изображения F₁(s) и F₂(s), то преобразование Лапласа от соотношения

L[k₁ f₁(t) k₂ f₂(t)] = k₁F₁(s) k₂ F₂(s),

где k₁, k₂- некоторые константы.

Доказательство.

По определению преобразование Лапласа

L[k₁ f₁(t) k₂ f₂(t)] =

k₁F₁(s) k₂ F₂(s).

Замечание.

Из данной теоремы следует, что преобразование Лапласа линейной комбинации оригиналов равно той же линейной комбинации их изображений.

L[] = - const.

2. Изображение производной.

Теорема 2.

Если функции f(t) и f'(t) функция f(t) имеет изображение F[s], то преобразование Лапласа производной этой функции равно:

L[f(t)] = s F[s] – f(0⁺)

f(0⁺) =

Теорема утверждает, что дифференцирование в вещественной области в комплексной области соответствует операции умножения изображения на s.

Доказательство.

По определению функция F[s] это: F[s]

] =

Покажем, что

при с > α.

Последовательное применение теоремы 2 позволяет распространить ее на производную любого порядка.

] =

Продолжая процесс, можно установить, что для n-ой производной:

3. Смещение в комплексной области.

Теорема 5.

Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), то

Доказательство.

По определению преобразование Лапласа

.

Билет 18 Изображение интеграла.

Теорема 3.

Если функция f(t)-оригинал и имеет изображение F[s], то интеграл

также является оригиналом, причем

L[] = F(s)/s +

L[] = F(s)/s + /s.

Теорема утверждает, что интегрирование в вещественной области в комплексной области соответствует делению изображения на s (с точностью до const).

Доказательство. (2-ой части, которая приводит к формуле задания изображения).

По определению

F(s) =

L[

Покажем, что

при .

Теорема доказана.

4. Изменение масштаба.

Теорема 4.

Если функция f(t) оригинал и имеет изображение F(s), и «a» - некоторая положительная константа или положительная переменная независящая от t и s, то преобразование Лапласа:

L=

График функции отличается от графика функции f(t) наличием масштаба по оси t.

Доказательство.

По определению

F(W) =

Положим, имеем

Введем , тогда

L= .

Билет19.

Теорема 6.

Если функции f₁(t) и f₂(t) являются оригиналами и имеют соответственно изображения F₁(s) и F₂(s), то

L[] = F₁(s)∙ F₂(s)

Теорема утверждает, что произведению изображений в вещественной области соответствует интеграл свертки.

Доказательство.

Обозначим F(s) = L[]

По определению

F(s) =

Верхний предел во внутреннем интеграле можно перенести из т. t в т. ∞, если подынтегральное выражение умножить на 1().

Рис. 1.

F(s) =

Изменим порядок интегрирования

F(s) =

Принимая во внимание вид функции 1(t-τ) как функции аргумента t, запишем

F(s) =

Для второго интеграла введем подстановку Отсюда следует, что

;

F(s) =

=

Рис. 2.

Замечание.

Может показаться на первый взгляд, что теорему свертки удобно использовать для вычисления обратного преобразования Лапласа. На самом деле это не так, интеграл свертки приводит к громоздким вычислениям.

7. Изображение запаздывающей функции.

Теорема 7.

Если функция f(t) является оригиналом и имеет изображение F(s), то преобразование Лапласа запаздывающей функции:

при условии

при t < τ. (*)

Доказательство.

По определению

F(s) =

Положим , тогда

F(s) =

Принимая во внимание соотношение при t < τ нижний предел можно перенести из т. τ в т.0. Получим

F(s) = отсюда следует, что

.

Замечание 1.

По условию теоремы функция f(t) является оригиналом, следовательно, может быть записана в виде: f(t)·1(t). Запаздывающий оригинал имеет вид:

, т. е. запаздывающий оригинал обязательно удовлетворяет условию (*).

Замечание 2.

При пользовании данной теоремой во избежание ошибок оригинал следует записывать в виде f(t)·1(t).

Билет20. Предельный переход по второй независимой переменной.

Теорема 8.

Пусть а – переменная независящая от t и s. Если функция f(t,а) является оригиналом относительно переменной t и имеет изображение F(s,a), то при условии существования выписанных ниже пределов справедливо равенство:

Доказательство.

По определению

Перейдем к пределу

Используя эту теорему, найдем изображение δ - функции. Рассмотрим функцию f(t,a), изображенную на рисунке.

L[f(t,a)] =

L[f(t- τ)] = где

Рассмотрим предел

т.о.

В соответствии с теоремой 8:

L[δ(t)] =

Т. о. Получили L[δ(t)] = 1.

Для производной δ(t) справедливо соотношение

Это равенство формально может быть получено применением теоремы 2.

Для запаздывающей δ(t) справедливо соотношение

L[δ(t-τ)] =

L[(в соответствии с теоремой 7).

Билет21. Дифференцирование в комплексной области.

Теорема 9.

Если функция f(t) является оригиналом и имеет изображение F(s), то

L

Теорема утверждает, что дифференцирование изображений в вещественной области соответствует умножению оригинала на аргумент t.

Доказательство.

По определению

F(s) =

Продифференцируем равенство по s. Это возможно, т. к. F(s)- аналитическая функция в области Re s > .

F(s) =

Перейдем к дифференцированию под знаком интеграла, получим

F(s) = L

В соответствии с таблицей

По теореме 9

L[

L[

Аналогично

L[

\

Билет 22. Предельное значение оригинала.

Теорема 10.

Если функции f(t) и f′ (t) являются оригиналами, и функция f(t) имеет изображения F(s), и если произведение s F(s) является аналитической функцией в правой полуплоскости на мнимой оси, то

.

Доказательство.

По теореме изображения производной

Перейдем пределу при , данный предел существует, т. к. функция sF(s) – аналитическая в окрестности 0. Получим

Переход к пределу под знаком интеграла возможен, т. к. по условию теоремы абсцисса абсолютной сходимости для функции , поэтому

- существует.

наименьшее α - абсцисса абсолютной сходимости.

Re s > , α < 0.

Из равенства

следует, что

.

Для функции

- не существует.

Теорема не справедлива, т. к. функция имеет два полюса на мнимой оси.

11.Начальное значение оригинала.

Теорема 11.

Если функции f(t) и f′ (t) являются оригиналами, и функция f(t) имеет изображения F(s), то

при условии, что т. о., что Re s = c.

Доказательство.

По определению

Перейдем к пределу

Покажем, что

Справедливо равенство

Из равенства

следует, что

Билет24. Изображение решения линейного дифференциального уравнения имеет вид

,

где - некоторые числа.

Если то дробь неправильная. Поделим числитель на знаменатель

Принимая во внимание изображение и ее производной, получим

- правильная дробь.

Т. о. задача заключается в нахождении обратного преобразования Лапласа от правильной дроби.

В соответствии с формулой обратного преобразования Лапласа

Для вычисления интеграла воспользуемся леммой Жордана. Рассмотрим замкнутый контур L, изображенный на рисунке.

L =

Вычеты берутся по всем точкам, лежащим левее прямой Re S = C.

Тогда

В соответствии с основной теоремой (1) изображение является аналитической функцией в области Re S > , т. к. C > , то все особые точки функции лежат левее прямой Re S = C, т. е. вычеты необходимо брать по всем особым точкам.

Рассмотрим два частных случая.

1. B(s) = 0, имеет простые вещественные корни.

Обозначим корни уравнения B(s) = 0. Применяя формулу вычетов, найдем

2. Два корня являются мнимыми.

Пусть уравнение B(s) = 0, имеет корни

корни вещественные и простые.

Изображение такого вида имеет место, когда в правой части дифференциального уравнения стоит гармоническая функция: sin или cos.

Применяя формулу 3 вычетов, найдем

Два первых слагаемых комплексно сопряжены, поэтому при их суммировании мнимые части сокращаются, а вещественные удваиваются.

Иногда вместо операции взятия вещественной части удобно взять мнимую часть. Принимая во внимание, что

,запишем

Замечание.

Полученные формулы можно использовать и в случае комплексных корней уравнения, однако в этом случае возникает необходимость выделять вещественную часть, что часто приводит к громоздким вычислениям. В этом случае целесообразно использовать разложение дроби на сумму простых дробей.

Билет 25. ИЗОБРАЖЕНИЕ ИМПУЛЬСА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

Рассмотрим функцию

Очевидно, что

По теореме линейности

Обозначим

Пусть .

По теореме запаздывания

тогда

(1)

Пример.

Найти L[f(t)], если

.

Дата добавления: 2014-01-11