Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Алгоритм 3.1. Алгоритм Евклида

 

ВХОД: Положительные целые числа a, b, ab.

ВЫХОД: Наибольший общий делитель gcd (a, b).

1. WHILE b 0 DO

2. r a mod b, a b, b r.

3. RETURN a.

Пример 3.11. Покажем, как с помощью алгоритма Евклида

вычисляется gcd (28,8):

a: 28 8 4

b: 8 4 0

r: 4 0

Здесь каждый столбец представляет собой очередную итерацию алгоритма. Процесс продолжается до тех пор, пока b не станет равным нулю. Тогда в значении переменной а содержится ответ (4).

Рассмотрим одно важное применение обобщенного алгоритма Евклида. Во многих задачах криптографии для заданных чисел с, m требуется находить такое число d < т, что

cd mod т= 1. (3.14)

Отметим, что такое d существует тогда и только тогда, когда числа с и m взаимно простые.

Определение 3.6. Число d, удовлетворяющее (3.14), называется инверсией с по модулю m и часто обозначается c -1 mod m.

Данное обозначение для инверсии довольно естественно, так как мы можем теперь переписать (3.14) в виде

cc -1 mod m= 1 .'

Умножение на с -1 соответствует делению на с при вычислениях по модулю m. По аналогии можно ввести произвольные отрицательные степени при вычислениях по модулю m:

c -e=(с е)-1=(c -1)е (mod m).

Покажем, как можно вычислить инверсию с помощью обобщенного алгоритма Евклида. Равенство (2.14) означает, что для некоторого целого k

cd-km= 1. (3.15)

Учитывая, что с и m взаимно просты, перепишем (2.15) в виде

m(-k)+cd=gcd(m,c), (3.16)

что полностью соответствует (3.13), здесь только по-другому обозначены переменные. Поэтому, чтобы вычислить с -1 mod m, т.е. найти число d, нужно просто использовать обобщенный алгоритма Евклида для решения уравнения (3.16). Заметим, что значение переменной k нас не интересует, поэтому можно не вычислять вторые элементы строк U, V, Т. Кроме того, если число d получается отрицательным, то нужно прибавить к нему т, так как по определению число a mod m берется из множества {0, 1,..., m- 1}.

Одной из важнейших операций в криптографии с открытыми ключами является операция возведения в степень по модулю. Идея построения эффективного алгоритма возведения степень была ранее проиллюстрирована с помощью (3.5) и (3.6). Рассмотренный алгоритм можно реализовать и без хранения в памяти ряда чисел (3.5). Дадим описание этого алгоритма в форме, пригодной для непосредственной программной реализации. В названии алгоритма отражен тот факт, что биты показателя степени просматриваются справа-налево, т.е. от младшего к старшему.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Элементы теории чисел | Алгоритм 3.3. Возведение в степень (справа-налево)
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1456; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.