Оценки качества импульсных систем

Так же как и для непрерывных систем, для импульсных САУ существуют различные оценки качественных показателей.

Динамические показатели системы можно оценить по корням характеристического уравнения замкнутой системы (1.38). Качественные показатели динамических свойств линейной импульсной системы в основном определяются характером поведения свободной составляющей общего решения (1.41) или, что тоже самое, переходной составляющей, которая является вторым слагаемым переходной функции в (1.42). В случае различных корней характеристического уравнения (1.38), свободная (переходная) составляющая имеет вид (1.45), а при наличии одного кратного корня кратности , и остальных простых корней будет

.

Из приведенных выражений следует, что характер изменения во времени зависит от вида корней . Будем далее предполагать, что , т.е. система устойчива. Тогда при все составляющие затухают и .

В теории линейных импульсных систем принято вводить корневые оценки относительно корней характеристического уравнения , получаемого из уравнения заменой . Если , а , то нетрудно получить связь между действительными и мнимыми частями корней

, , .

Доминирующей составляющей (наиболее медленно затухающей) в переходном процессе будет та, для которой корень будет иметь наибольший модуль , который обозначим через . Этому корню будет соответствовать корень , для которого величина будет минимальной.

Степенью устойчивости будем называть минимальную величину модуля вещественной части корня характеристического уравнения замкнутой системы

. (1.62)

Таким образом, для определения следует в (1.62) взять корень , имеющий минимальный модуль.

Степень устойчивости применяется для оценки быстродействия системы: чем больше , тем меньше . С этой точки зрения термин “степень устойчивости” является неудачным, его следовало бы заменить на термин “степень быстродействия”. Однако будем придерживаться общепринятой терминологии. Если определить время регулирования как время вхождения переходной функции в 5% трубку от установившегося режима, то это произойдет за -периодов.

,. (1.63)

В частности, для процессов “конечной длительности” (см. подраздел 1.6) все корни характеристического уравнения равны нулю и величина . Поэтому такие системы называют системами с бесконечной степенью устойчивости.

Второй корневой оценкой является степень колебательности (колебательность системы) , определяемая как

. (1.64)

Величина характеризует склонность системы к колебаниям: чем больше , тем переходные процессы становятся более колебательными.

Вычисление и по корням характеристического уравнения при высоком порядке последнего – трудоемкий процесс. Существуют косвенные методы оценки этих величин, изложенные в литературе [4].

Следующим видом оценок процессов в импульсных системах являются суммарные оценки вид

, , (1.65)

где - переходная функция замкнутой системы, - ее установившееся значение при .

Оценка принимается для монотонных процессов , а как для монотонных, так и для колебательных . Поэтому чаще применяются более универсальная оценка . Суммарные оценки, так же как интегральные для непрерывных систем, одновременно с помощью одного показателя оценивают как длительность переходного процесса (время регулирования ), так и его отклонения. Считается, что чем меньше величины и , тем лучше качество динамики системы.

Как показано в [4],

, , (1.66)

где при , - характеристический полином передаточной функции замкнутой системы , а .

Методика определения может базироваться на построении графика зависимости квадрата модуля от частоты на интервале и определении площади полученной фигуры.

Перейдем к рассмотрению частотных оценок качества импульсных систем, использующих частотные характеристики разомкнутой и замкнутой системы.

Использование АФЧХ замкнутой системы позволяет ввести так называемый показатель колебательности системы

, (1.67)

который характеризует колебательность процессов в системе: чем больше тем процессы являются более колебательными. Величина соответствует отсутствию колебаний. Обычно приемлемой считается величина , лежащая в пределах .

Использование позволяет, как об этом говорилось в п. 1.8, ввести понятие полосы пропускания замкнутой системы, т.е. диапазон частот от 0 до , в котором ошибка воспроизведения амплитуды входного гармонического сигнала на выходе системы не превышает заданной. Иногда определяют, как частоту, при которой .

Отметим, что прямое определение требует построения . Однако, существуют косвенные методы определения по известной АФЧХ разомкнутой системы .

При использовании частотных характеристик разомкнутой системы , , определяют в первую очередь запасы устойчивости по фазе и модулю. Наиболее часто их определяют по логарифмическим характеристикам. Эти запасы легко определить по графикам, что показаны на рис. 1.7 в примере 1.3.

Отметим, что величина влияет на время регулирования . Так же как и в непрерывных системах, чем больше , тем меньше .

Напомним, что для непрерывных систем получено достаточно много аналитических и графических зависимостей, связывающих параметры частотных характеристик и качественных показателей системы . К сожалению, этого нельзя сказать об импульсных системах, у которых эти связи более сложные и часто менее прозрачные.

Пример 1.10. Рассмотрим импульсную САУ из примеров 1.3 и 1.7, где , , , . Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет единственный корень . Из условия устойчивости . Если , то корень , если , то корень . Степень устойчивости

,

которая при изменяется от до 0. Очевидно, при , величина и система будет иметь бесконечную степень устойчивости.

Величина при и при .

Найдем суммарную оценку . Так как , то в соответствии с (1.66) . Эту оценку следует применять при , т.е. при . Минимальная величина будет при , т.е. в системе с бесконечной степенью устойчивости.

Дата добавления: 2014-01-11