Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основные понятия теории вероятностей

 

События. Вероятность события.

ТВ строится на ряде важнейших понятий.

Первое из них- событие, второе-вероятность события.

Определение 1. Под событием в ТВ понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

 

Обозначения:

  1. А-появление орла при бросании монеты
  2. В-появление трех орлов при трехкратном бросании монеты
  3. С-появление туза при вытягивании карты из колоды
  4. D-попадание в цель при одном выстреле
  5. Е-попадание в цель при трех выстрелах.

Видно, что появление одних событий менее вероятно, чем появление других.

Ясно, что каждое событие обладает той или иной степенью вероятности.

Степень вероятности каждого события с каждым событием связывает определенное число, которое тем больше, чем больше возможное событие. Такое число называется вероятность события.

 

Вероятность события называется численная мера степени объективно возможности этого события.

Понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытом.

 

В качестве единицы используют вероятность достоверного события, т.е. такого, которое в результате опыта непременно должны произойти.

 

Пример достоверного события: выпадение не больше 6 очков при бросании игровой кости. К достоверному событию приписывают вероятность =1.

 

Лекция 3

Невозможное событие – событие, которое в данном опыте не может произойти.

 

Пример: появление 7 очков при бросании игральной кости.

К невозможному событию приписывают вероятность = 0

Единица изменения вероятности – вероятность достоверного события, а диапазон изменения любых событий – числа от 1 до 0.

Если обозначить P(A)-вероятность А

 

0<=P(A)<=1

 

Непосредственный подсчет вероятностей.

Классическое определение вероятности.

 

В целом классе опытов вероятность исхода легко оценить заранее, исходя непосредственно из условий данного опыта (не проводя опыты). Для этого нужно, чтобы различные исходы проводимого опыта были объективно одинаково возможны, или обладали свойством симметрии.

 

Пример:

1. Появление любой карты из колоды

2. Появление любой грани игральной кости.

Для того, чтобы можно было правильно подсчитать вероятности необходимо ввести ряд дополнительных понятий.

 

Понятие 1.

Полная группа событий

 

Несколько событий в данном опыте образуют ПГС, если в результате опыта обязательно появится хотя бы один из них.

 

Понятие 2.

Несовместное событие

Несколько событий называются Н, если никакие из них не могут появиться вместе.

 

Примеры:

Промах и попадание при одном выстреле.

 

Понятие 3

Равновозможное событие

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможно, чем другое.

 

Пример:

Бросание кости, выпадение 1..6

 

Существуют группы событий, обладающие всеми 3мя свойствами.

1) Они образуют полную группу

2) События не совместные

3) События равновозможные

События, образующие такую группу называются случайными.

Если какой-либо опыт по своей структуре обладает симметрией возможных исходов, то говорят, что он сводится к схеме случаев.

Случай называется благоприятным, если появление этого случая влечет за собой появление данного события А.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется, как отношение числа m/n

P= m/n-классическое определение вероятности.

 

Основные формулы комбинаторики.

1. Pn=n! 0!=1!=1 n!=1*2*3*…*n

2. Amn=n(n-1)…(n-m+1)=n!\(n-m)!

3. Cmn=Cn-mn

 

 

Теория Вероятностей. Лекция 4 5.10.11.

 

Частота статистической вероятности событий (2, 3 главы).

Будем считать, что каждое событие, связанное с массой однородных опытов (сводящихся или нет к схеме случаев) имеет определенную вероятность, заключенную между 0 и 1.

Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определения вероятностей. Все эти способы основаны на эксперименте.

Частотой события A в данной серии опытов называется отношение числа m-опытов, в котором появилось значение А, к общему числу n-произведенных опытов.

Частоту события А обозначают p*(A) и вычисляют по формуле:

 

p*(A)=m/n

 

Частоту события называют так же статистической вероятностью. При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно отличаться от одной группы опытов к другой.

При увеличении числа опытов, частота события все более теряет свой случайный характер.

 

Случайная величина.

 

Определение. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно - какое именно.

Случайные величины могут быть непрерывными и дискретными.

Определение 1. Случайные величины, возможное значение которых непрерывно заполняют некоторый промежуток - называются непрерывными случайными величинами.

Определение 2. Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными (прерывистыми) случайными величинами.

 

…/Прочесть Глава 1, Глава 2: 2.1-2.5. Глава 3: 3.1, руководство к действию. …/

 

В теории вероятностей вместо случайных событий, где только возможно, предпочитается оперировать со случайными величинами.

Иными словами переходят от «схемы событий» к «схеме случайных величин».

 

…/Тут мы забазирили про отсутствие полов и хреновую демократизацию, бред конечно, но интересно…/

 

Практически невозможные и практически достоверные события.

1) Практически достоверным событием называют событие, вероятность не в точности равна 1, но весьма близка к 1.

2) Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого не в точности равна 0, но весьма близка к 0.

Часто указанные события называют статистически достоверными и статистически невозможными.

Основные теоремы Теории Вероятностей

 

Вся теория вероятностей в основном представляет собой систему косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.

При использовании косвенных методов применяются основные теоремы теории вероятностей.

Основных теорем две: «Теорема сложения вероятностей» и «Теорема умножения вероятностей».

Заметим, что эти две теоремы могут быть доказаны для схемы случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев они принимаются аксиоматически – как принципы или постулаты.

 

Сумма событий и произведение событий

Определение. Суммой нескольких событий Ai называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

 

Ai (i=1,2..n) C=A1+A2…An

 

# Опыт состоит в трех выстрелах по мишени.

Рассмотрим событие:

 

А0-ни одного попадания

А1-ровно одно попадание

А2-ровно два попадания

А3-ровно три попадания

 

Из этих элементарных событий можно построить ряд более сложных событий. Пусть в частности события А=А0+А1-событие «не более одного попадания». Другое событие В=А2+А3-событие «не менее двух попаданий».

 

Определение. Произведение нескольких событий Вi(i=1,2,..,n) называется событие В=В1*В2..Вn

 

#Опыт состоит в произведении трех выстрелов по мишени. Рассмотрим событие:

 

В1-промах при первом выстреле

В2-промах при втором выстреле

В3-промах при третьем выстреле

 

Поострим в частности более сложное событие:

 

В=В1*В2*В3 – событие «ни одного попадания».

 

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых (элементарных) событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

 

#Опыт. Производится 3 выстрела по мишени. Пусть элементарными событиями являются:

Аi – попадание при i-м выстреле

Ai’ – промах при i – м выстреле

Лекция 5

Рассмотрим более сложное событие В – ровно одно попадание при трех выстрелах. Это событие может быть представлено в виде следующих элементарных событий:

 

B=A1`A2A3+A1A2`A3+A1A2A3`

Где `-попал

 

Пусть событие С - не менее двух попаданий, тогда:

 

С=A1`A2`A3`+A1`A2A3`+A1A2`A3`

 

Из определения следует: (А+А=А)

(А*А=А)

 

А) С=А+В D=AB

Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

 

P(A+B)=P(A)+P(B)

Примем эту теорему как аксиому.

 

В случае N-несовместных событий теорема записывается в виде:

 

 

Следствие. Если событие А1, А2,… AN составляет полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей составляет 1.

 

Противоположные события

Определение. Противоположными событиями называются два несовместных события, если они образуют полную группу.

 

А – попадание при выстреле

А`- промах при выстреле

В - орел при бросании монеты

В` - решка

С - безотказная работа всех элементов системы

С` - отказ хотя бы одного элемента

 

\... Изучить три примера и переписать их\...

 

Если два события совместны, то теорема сложения вероятностей записывается так:

 

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

 

Теорема умножения вероятностей

Понятие о независимых и зависимых событиях.

Событие А называется независимым (зависимым) от события В, если вероятность события А не зависит (зависит) от того, произошло событие В или нет.

 

#1. Бросаются две монеты. А-появление орла на первой монете. В-появление орла на второй монете. В данном случае А не зависит от В.

 

#2. В урне два белых и один черный шар. Опыт: два лица вынимают из урны по одному шару. Рассмотрим событие: А1- появление белого шара у 1го лица. А2-появление белого шара у 2го лица.

 

Вероятность события А1 до того, как известно что либо о событии А2 равна 2/3.

Если стало известно, что событие А2 произошло, то вероятность события А1 становится ½, из чего заключаем, что событие А1 зависит от события А2.

 

Условная вероятность.

Определение. Вероятность события А, вычисленное при условие, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается:

 

Р(А|B)

 

Для условия примера 2.

Р(А1)=2/3

Р(А1|B1)=1/2

 

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

 

Р(А|B)=Р(А),

 

А условие зависимости Р(А|B)≠Р(А)

Теорема умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равно произведению вероятности одного из них на условною вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

 

Р(АВ)=Р(А) Р(А|B)

 

Очевидно, какое событие считать первым, а какое вторым, поэтому:

 

Р(АВ)=Р(В) Р(А|B)

 

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то есть Р(А|B)=Р(А), то и событие В не зависит от события А.

 

Лекция 6

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Материальная ответственность осужденных к лишению свободы | Законы распределения случайных величин. Ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины (СВ)
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 440; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.081 сек.