Формулы Крамера

Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m = n):

(19)

Введем три матрицы

, , .

Матрица А, составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка n. Матрицы Х и В являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.

Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Х, то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица В. Тогда систему уравнений (19) можно записать в форме одного матричного уравнения.

. (20)

Для определения матрицы Х из (20) допустим, что матрица А имеет обратную матрицу А ^-1, определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (20) слева А ^-1, получим

. (21)

По определению обратной матрицы , где Е – единичная матрица порядка n. Отсюда .

Следовательно, уравнение (21) запишется в виде

. (22)

Матричное равенство (22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (22) в виде

, (23)

где - определитель, соответствующий матрице А;

- алгебраические дополнения элементов этой матрицы.

Перемножив матрицы в правой части (23), найдем

.

Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим

, , …,

…, . (24)

Формулы (24) и определяют решение системы (19). Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике группу определителей:

, ,

, …, .

Заметим, что определитель , получен из Δ заменой его первого столбца на столбец сводных членов, определитель , получен из Δ заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д. Разложим каждый из определителей по столбцу членов . Тогда

, , …,

. (25)

Из сравнения полученных результатов (25) с числителями равенств (24) следует, что решение системы (19) можно записать в виде

. (26)

Формулы (26) называются формулами Крамера.

ПРИМЕР 8.1. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы.

.

Так как , то решение можно найти по формулам Крамера:

, . Тогда

, . Ответ: (1;2).

ПРИМЕР 8.2. Решить матричным способом систему уравнений

Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы:

.

Так как , то система может быть решена матричным способом.

Составим матрицы , , .

Так как определитель системы , то матрица А имеет обратную матрицу А ^-1, где

.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

3, , ,

, , ,

, , .

Тогда .

Так как решением является , то

.

Или x ₁=1, x ₂=1, x ₃=1. Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-11