Лек. 8. Электрическое поле движущихся зарядов. Магнитное поле. Магнитная индукция. Магнитостатика в вакууме. Магнитное поле постоянного тока. Поток магнитного поля

Взаимодействие точечных неподвижных зарядов полностью описывается законом Кулона. Однако закон Кулона недостаточен для анализа взаимодействия точечных зарядов, причем такой вывод следует не из конкретных особенностей кулоновского взаимодействия, а обусловливается релятивистскими свойствами пространства и времени и релятивистским уравнением движения. Это утверждение в принципе вытекает из соображений.

Релятивистское уравнение движения

d p/ dt = F ( 8.1)

инвариантно и имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета, в частности в системе координат K¢, которая движется равномерно и прямолинейно относительно K:

d p ¢ / dt¢ = F ¢ ( 8.2)

штрихи относятся к системе K’, которая движется равномерно и прямолинейно относительно К.

в левые части этих уравнений входят чисто механические величины, поведение которых при переходе из одной системы отсчета в другую известно. Следовательно, можно связать между собой некоторой формулой левые части уравнений ( 8.1) и ( 8.2). Но тогда оказываются связанными между собой силы в правой части уравнений. Наличие такой связи обусловливается требованием релятивистской инвариантности уравнения движения. Поскольку в левые части уравнений ( 8.1) и ( 8.2) входят скорости, заключаем, что сила взаимодействия движущихся зарядов зависит от скорости и не сводится к кулоновской силе. Тем самым доказывается, что взаимодействие движущихся зарядов осуществляется не только кулоновской силой, но также силой другой природы, называемой магнитной. Выявить это можно из примера взаимодействия бесконечной заряженной нити и точечного заряда.

В системе координат К¢ заряженная нить покоится и направлена вдоль оси (рис.21). Точечный заряд расположен на оси на расстоянии y¢₀ от нити. Обозначим S₀¢-площадь поперечного сечения нити, считая

Рис. 21.Схема взаимодействия элемента нити и точечного заряда

S₀¢ Если объемная плотность зарядов r¢, то на элементе длины dx¢ нити находится заряд dq¢ =r¢S₀¢dx¢. Полагаем заряд нити и точечный заряд положительными. В этом случае силы, действующие на точечный заряд со стороны заряда элемента нити, направлены как показано на рис.21

По закону Кулона

Учитывая, что

для компонент силы получаем

Первый интеграл равен нулю, поскольку в подыинтегральном выражении нечетная функция, а для вычисления второго интеграла используется замена переменных

x¢ =y¢₀ctga dx¢ = y¢₀da/sin²a, 1+ ctg²a =1/sin²a, тогда

=0, = (8.5)

Кроме того, F_z¢=0. Принимая во внимание, что заряд в данный момент покоится

Рассмотрим это взаимодействие в системе координат К, движущейся относительно системы К¢ со скоростью v в направлении отрицательных значений оси X¢. Направим ось X вдоль нити так, чтобы ее положительное направление совпадало с положительным направлением оси X¢, и будем считать эту систему неподвижной. В системе координат К система К¢, нить и заряд движутся в направлении положительных значений оси X со скоростью v. Вычислим силу кулоновского отталкивания со стороны движущейся нити на движущийся заряд. Вследствии инвариантности заряда точечный заряд q неизменен. Размеры движущейся нити сокращаются и плотность зарядов на единицу длины увеличивается

r = r¢/Ö1-v²/c²

Где Ö1-v²/c² учитывает релятивистское изменение масштабов.

Поскольку в перпендикулярном направлении скорости движения размеры остаются неизменными, то площадь поперечного сечения движущейся нити и расстояние от нити до точечного заряда будут неизменными.

Тогда получим

f_x=0, f_y=qrS₀/(2pe₀y₀), f_z =0,

Используя выражение для плотности заряда, с учетом (8.5)

f_y=qr¢S₀/(2pe₀y₀Ö1-v²/c²) = qr¢S₀¢/(2pe₀y₀¢Ö1-v²/c²) = F_y¢/Ö1-v²/c²), (8.9)

где S₀ =S₀¢, y₀ = y₀¢

Кулоновская сила обозначена малой буквой, чтобы отличить от полной силы, действующей на заряд которая не сводится к кулоновской силе.

Сила полная в системе координат К направлена по оси У и связана с импульсом уравнением движенеия

F_y = dp_y/dt

В системе координат К¢ эта связь имеет вид

F_y¢ = dp_y¢/dt¢

По формулам преобразования теории относительности

p_y = p_y¢,

dt¢/dt=Ö1-β² /(1-vu_x¢ /c²), β=v/c (8.12)

где u_x¢– компонента скорости частицыв системе координат К¢, причем в данном случае u_x¢=0.

С учетом (8.12) находим

F_y = dp_y/dt = (dp_y¢/dt¢) (dt¢/dt) = F_y¢Ö1-β² (8.13)

Сравнивая (8.9) и (8.13)

F_y = (Ö1-β²) f_y

Кулоновская сила отталкивания f_y больше силы F_y, действующей на движущийся заряд со стороны движущейся нити. Следовательно, кроме кулоновской силы отталкивания на заряд действует еще некая сила притяжения, отличная от кулоновской.

Разность для силы магнитной природы имеет вид

F_ym = F_y - f_y = - f_y (v²/c²)

Знак минус означает, что сила направлена к заряженной нити, т.е. сила притяжения. Эта сила второго порядка малости по v/c относительно кулоновского взаимодействия. Релятивистский эффект появления магнитного поля проявляется при любых скоростях.

Дата добавления: 2014-01-11