Основные уравнения теории постоянного магнитного поля

Так же как из закона Кулона и принципа суперпозиции можно полу­чить уравнения, описывающие постоянное электрическое поле, из закона Био - Савара - Лапласа (6.1) и принципа суперпозиции (6.4) можно по­лучить уравнения для векторной функции

В = В ( r ),

описывающей постоянное магнитное поле. Эти уравнения имеют вид:

= μ_o å I

=0

Левая часть уравнения (6.8) есть циркуляция вектора В магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру С, а правая часть про­порциональна алгебраической сумме å I токов, охватываемых этим кон­туром (рис. 6.4). Направление обхода контура С (т.е. направление век­тора dl) может быть выбрано произвольно. При этом ток, охватываемый контуром, считается положительным, т.е. входит в сумму å I со знаком "плюс", если его направление связано с обходом контура правилом пра­вого винта. В противном случае ток считается отрицательным. На рис. 6.4 токи I₁ и I₂ охватываются контуром С, а ток I₃ - нет. При этом сумма токов å I = I₁ и I₂, так как ток I₁ - положителен, а ток I₂ - отрицателен.

■ ■

   

Рис. 6-4- К формулировке теоремы о циркуляции вектора В

Если ток течет не по проводам, а в сплошной среде, то он описывается векторным полем j = j ( r ) плотности тока. В этом случае сила тока I, охватываемого контуром С, равна потоку вектора j плотности тока через произвольную поверхность S, натянутую на этот контур (рис. 6.5):

I = (6.10)

где направление нормали п к поверхности S связано с обходом конту­ра правилом правого винта. При этом вместо уравнения (6.8) следует записать

Рис. 6.5. Поверхность S, натянутая па контур С

Уравнение (6.9) утверждает, что поток вектора индукции В посто­янного магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю. Отсюда следует, что силовые линии постоянного магнитного поля всегда замкнуты в отличие от силовых линий постоянного электрического поля, которые начинаются и заканчиваются на зарядах.

Интегральным уравнениям (6.9) и (6.11) соответствуют дифференци­альные уравнения

(6.12)

div B =0

rot В = μ_o j. (6.13)

Векторное поле, удовлетворяющее условиям (6.9) или (6.12), называют вихревым, или соленоидальным. Таковым является постоянное магнит­ное поле.

Дата добавления: 2014-01-11