Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида

Получим формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида длины l и радиуса а, на единицу длины которого приходится п витков (рис. 6.6). Пусть в соленоиде идет ток, сила которого равна I.

l

Рис.6.10.К расчету индукции магнитного поля на оси соленоида

Будем рассматривать соленоид как совокупность узких колец с током. Одно из таких колец показано на рис. 6.10. Положение этого кольца определяется координатой x, которая изменяется в пределах от 0 до l, а его ширина равна dx. Так как рассматриваемое кольцо содержит ndx витков, круговой ток, текущий по кольцу, имеет силу

di =Indx. (6.26)

Этот ток создает магнитное поле, индукцию dB которого в на оси соленоида можно найти по формуле(6.24)

dВ = μ_oa²di/ (2 R ³) (6.27)

где расстояние от точки Р до кольца с током

R =Ö(a² +(x-x)²)

х - координата точки Р.

Индукция В магнитного поля, создаваемого в точке Р всеми витками соленоида, в силу принципа суперпозиции равна интегралу от выраже­ния (6.27):

В = μ_oIn a²/ 2

Для вычисления этого интеграла удобно ввести новую переменную нтегрирования - угол q. Как видно из рис. 6.10, уголq таков, что

R = adq/sin q (6.29)

и

x- х = a ctgq (6.30)

Продифференцировав равенство (6.30) при х = const, получим

dx = adq/sin²q (6.31)

Подстановка выражений (6.29) и (6.31) под знак интеграла в формуле (6.28) дает

В(x) = μ_oIn / 2

где q₁ и q₂ - наибольшее и наименьшее значения угла q, зависящие от положения точки Р на оси соленоида. Интегрирование по формуле Ньютона - Лейбница приводит к выражению

(6.32)

Выразим cos q₁ и cos q ₂ через х для значений х, удовлетворяющих не­равенству

0 < х < l,

т.е. для точек, лежащих на оси х внутри соленоида. Из построений на

рис. 6.11 найдем, что

cos q₁ =

cos q₂ =

Подставив эти выражения в формулу (6.32), будем иметь зависимость

В(x) = μ_oIn / 2(+ ) 6.33)

Эта формула дает следующие значения магнитной индукции на торцах соленоида и в его середине:

B(0) = В(l) =

В(l/2 =)

где D = 2 a - диаметр соленоида.

Нетрудно убедиться в том, что формула (6.33) справедлива для всех точек на оси соленоида. Согласно этой формуле магнитная индук­ция монотонно убывает до нуля при | х |® + ¥. График зависимости В = В(х), определяемый формулой (6.33), изображен на рис. 6.12. Интересно отметить, что при l|® + ¥ формула для магнитной В(l/2) ин­дукции в середине соленоида переходит в полученное ранее выражение В=μ_oIn для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида.

Рис. 6.11. К вычислению магнитной индукции поля в соленоиде

В(х)

B(0)

l x

Рис. 6.12. Магнитная индукция на оси соленоида

Дата добавления: 2014-01-11