Ротор. Теорема Стокса

Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от до выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора по контуру Г.

Циркуляция =

Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г₁ и Г_2.

Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.

Рис. 6.14- К выводу теоремы Стокса

Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат.

Знак минус ставится тогда, когда направления c_x не совпадает с направлением обхода.

Учитывая, что , получим:

Аналогично для сторон квадрата 2 и 4:

,

Тогда циркуляция по квадрату будет равна:

, где S – площадь квадрата.

Разделив циркуляцию на , найдём проекции на оси координат:

(1*)

(2*)

(3*)

Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической перестаноки системы координат.

Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора в декартовой системе координат будет иметь вид:

Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру:

Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора rotчерез площадку S, ограниченную этим контуром.

Отметим, что

Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (набла)

Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат.

Дата добавления: 2014-01-11