Диполь в магнитном поле

Хотя векторная природа электрического и магнитного полей различна и магнитный дипольный момент (4.21) определяется иначе, нежели электродипольный момент (1.23), обращает на себя внимание тождественность вы-

ражений для поля (4.24) и (1.25). Из рис. 4.4 можно усмотреть совершенную идентичность картины поля при переходе к приближению точечных диполей. (Только условия «точечности» будут различны — в одном случае необходимо с надлежащей точностью обеспечить квазинейтральность

div E = 0,

а в другом — неразрывность токов

div j = 0.)

Мы воспользуемся этим обстоятельством, чтобы избежать весьма трудоемкого вывода из определения (4.21) формул, аналогичных (1.27) и (1.28), а вместо этого сразу же воспроизведем их с соответствующими переобозначениями:

F = ▼(mB), (7.4)

М = [mB ]. (7.5)

Как известно из механики, консервативные силы связаны с потенциальной энергией соотношением F_x = -dW/dx в одномерном случае, а в трехмерном мы должны повторить то же самое для F_y, F_z, так что

F = - ▼W

— мы уже использовали это обстоятельство в электростатике. Таким образом, (7.4)

может быть представлена в эквивалентном виде: энергия магнитного диполя во внешнем поле равна

W = -(mB). (7.6)

Это соотношение является базовым для определения единицы дипольного момента — он измеряется в джоулях на тесла (Дж/Тл). Мы уже использовали эту единицу в гл. 5 для магнетона Бора.

Если бы речь шла только о заданном диполе — например постоянном магнитике, формулами G.4) и G.6) можно было бы и ограничиться, но в случае, когда мы имеем дело с наведенным дипольным моментом, в них неявно заключена опасность ошибки. Именно, если m ос В или вообще дипольный момент функционально как-то связан с полем, возникает вопрос, следует ли и его дифференцировать в (7.4). Правильно будет этого не делать, потому что взаимодействие диполя с полем — характеристика силовая и она не

может зависеть от природы диполя: на диполи с одинаковыми дипольными моментами должна действовать одинаковая сила безотносительно к их происхождению. В таких случаях принято указывать в формуле, на какой именно сомножитель действует оператор ▼:

F = ▼(mB),

но лучше привести (7.4) к такому виду, в котором m заведомо не дифференцируется. Воспользуемся векторным тождеством

[ m, rot B ] = [ m [▼ В ]] = ▼(m В) - (m ▼) B,

которое позволяет записать силу (7.4) в следующем виде:

F = V (mB) = (mV) B + [ m,rot B ]. (7.7)

В магнитоактивном веществе соотношение (7.7) естественно представить в форме объемной плотности силы

f = (J▼) B + [ J,rot B ]. (7.8)

В соответствии с вышесказанным, величина J (r) здесь не дифференцируется.

Дальнейшее преобразование формулы (7.8) требует явного учета зависимости J(B). Мы ограничимся простым случаем линейной связи, т. е. диа- или парамагнетиками:

Подставим это выражение в (7.8) и проведем векторное преобразование, аналогичное тому, что мы сделали при выводе (7.3):

(В V) B + [ В, rot B ] = (1/2) VB ².

В итоге получаем

(7.9)

Мы снова выразили силу, распределенную в среде, в форме градиента давления (7.2). Но этот результат еще может быть дополнен плотностью силы Ампера (7.3), если магнетик одновременно является проводником. Особенно интересно отметить, что эффективное «давление»

-^(ВН) (7.10)

может быть как положительным при μ < 1, так и отрицательным при μ > 1.

Как следствие, диамагнетик выталкивается из области более сильного магнитного поля, а парамагнетик, напротив, втягивается в нее. Этот эффект может быть с успехом продемонстрирован на примере растворов пара- или диамагнитных солей. По существу, мы получили объяснение и того общеизвестного факта, что предметы из магнитомягкого железа притягиваются постоянным магнитом. Конечно, конкретные формулы (7.9), (7.10) могут оказаться неадекватными из-за нелинейности зависимости J(B), но качественно это тот же самый эффект. (Что касается магнитотвердых материалов, то здесь может оказаться существенной их собственная намагниченность.)

Дата добавления: 2014-01-11