Кривые второго порядка

Отметим, что кривых второго порядка всего четыре. Запишем их канонические уравнения, выбирая декартову систему координат так, чтобы эти уравнения были наипростейшими.

Окружность

Определение. Окружностью называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром окружности.

Общее уравнение окружности известно из школьной программы

,

здесь координаты центра окружности, R - ее радиус. Наипростейшее уравнение окружности получается в том случае, когда ее центр совпадает с началом системы координат.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

F₁

M (x,y)

X

Y

O

F

(c;0)

(- c;0)

Построим уравнение эллипса, исходя из его определения. В качестве оси абсцисс принимаем прямую, проходящую через фокусы, начало координат выбираем посередине между фокусами. Ось ординат, очевидно, перпендикулярна оси абсцисс. Пусть произвольная точка эллипса. Тогда, или

Поскольку сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны, обозначаем, после чего получаем наипростейшее (каноническое) уравнение эллипса

.

Здесь оси эллипса, его фокусы (фокальные точки),.

Вводится также понятие эксцентриситета эллипса, который показывает, насколько эллипс отличается от окружности.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Каноническое уравнение гиперболы, имеющей точки пересечения с осью абсцисс,. Выводится оно так же, как уравнение эллипса, и в той же системе координат. Гипербола состоит из двух ветвей. Ее вершины расположены в точках и. Фокальные точки и, причем. Эксцентриситет определяется той же формулой.

Гипербола относится к классу спрямляемых кривых, подходящих сколь угодно близко к прямым, называемым асимптотами. Уравнения асимптот гиперболы.

На рисунке кроме ветвей гиперболы, показаны ее асимптоты.

Уравнение гиперболы, пересекающей ось ординат,

Парабола

Определение. Параболой называется множество точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой – директрисой параболы.

Канонические уравнения одной из парабол построим в следующей системе координат: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, начало координат поместим в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения директрисы с осью абсцисс. Тогда координаты фокуса параболы, уравнение директрисы. Если произвольная точка параболы, то. Очевидно,

,

откуда следует каноническое уравнение. Ниже приведены уравнения по-разному сориентированных парабол и соответствующие им кривые.

Примеры.

1. Найти точки пересечения окружности с прямой. Решаем систему уравнений.

.

Общие точки прямой и окружности и.

2. Найти общие точки окружности и эллипса.

Решаем систему уравнений

.

Вычтем из первого уравнения второе, откуда следует, тогда. Имеем две общие точки и.

3. Найти кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой.

Приведем уравнение окружности к нормальному виду

.

Координаты центра окружности. Уравнение прямой запишем в виде.

Кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой равно

.

Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду

Самое общее уравнение кривой второй степени

может быть приведено к каноническому виду заменой одной декартовой системы координат на другую. Этот прием позволяет установить вид кривой и построить ее при необходимости.

Введем две системы координат – старую с началом в точке O и векторами ортонормированного базиса, направленными вдоль оси и соответственно, и новую с началом в точке и векторами ортонормированного базиса, направленными вдоль осей и.

O

O₁(a,b)

Y

X

Y₁

X₁

M(x, y) (x_1, y₁)

Пусть угол между осями и равен, координаты начала координат в старой системе координат. Возьмем произвольную точку плоскости с координатами в старой системе и новой.

Угол между и, а также и равен, тогда угол между и равен, угол между и равен.

Скалярные произведения этих векторов

,,

,,

.

Радиусы-векторы точек и в старой и новой системах координат,,. Так как, имеем

.

Умножаем это векторное равенство скалярно сначала на затем на, тогда

,

.

В результате имеем связь между старыми и новыми координатами

или.

Примеры.

1).

Выделяем полные квадраты следующим образом

,

.

Делаем замену координат, в результате приходим к уравнению эллипса. Сравнивая с общей формулой замены переменных, устанавливаем, что каноническое уравнение эллипса получено в новой системе координат с началом в точке и с тем же направлением осей координат (параллельный перенос системы координат).

2).

Осуществим поворот системы координат относительно начал на угол, используя соотношения

.

,

Потребуем, чтобы коэффициент при равнялся нулю,

откуда следует. Тогда. Получено каноническое уравнение гиперболы.

Дата добавления: 2014-01-11