Геометрия в пространстве

Уравнение плоскости

Известно, что через заданную точку перпендикулярно заданному вектору проходит единственная плоскость. Исходя из этого определения, выведем уравнение плоскости.

Пусть - известная точка плоскости, а заданный вектор (его называют нормальным вектором плоскости), определяющий ориентацию плоскости в пространстве имеет вид. Выберем произвольную точку плоскости, тогда вектор

принадлежит плоскости, а. следовательно, перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Очевидно, скалярное произведение этих векторов. Отсюда следует формула

.

Это и есть уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку.

Если раскрыть скобки и ввести обозначение, получаем общее уравнение плоскости

.

Доказано, что между этим уравнением и множеством плоскостей в трехмерном пространстве существует взаимно однозначное соответствие.

Примеры.

1. Определить угол между плоскостями и.

Очевидно, угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами, тогда.

2. Найти точку пересечения трех плоскостей и,.

Задача свелась к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными. Система уравнений может иметь единственное решение, тогда плоскости имеют одну общую точку не иметь решений, тогда плоскости параллельны, и иметь бесчисленное множество решений, в этом случае плоскости пересекаются по прямой, или наложены одна на другую.

Решаем систему уравнений методом Гаусса. Рассмотрим ее расширенную матрицу

Ясно, что. Имеем одну общую точку трех плоскостей.

Прямая в пространстве

Определим прямую как пересечение двух плоскостей. Тогда ее уравнение имеет вид - это общее уравнение прямой.

Можно получить другое уравнение прямой, воспользовавшись определением, что через заданную точку в заданном направлении проходит единственная прямая.

Пусть прямая проходит через точку в направлении вектора. Выберем произвольную точку прямой, тогда вектор принадлежит прямой, следовательно, коллинеарен вектору. Тогда или

, откуда следует каноническое уравнение прямой

.

Из этого уравнения можно получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и, если за направляющий вектор принять. Очевидно,

.

Из соотношений получаем параметрическое уравнение прямой

.

Применение уравнений прямой и плоскости

Пример1. Найти точку пересечения плоскости и прямой.

Задача сводится к решению системы трех уравнений

Если система имеет единственное решение, то общая точка плоскости и прямой одна, если не имеет решение – прямая параллельна плоскости, при бесчисленном множестве решений прямая лежит в плоскости. Решим задачу методом Гаусса

~ ~

Получаем систему двух уравнений

,

соответствующих, как говорилось выше, пространственной прямой, лежащей в указанной плоскости.

Пример 2.

Найти точку пересечения плоскости и прямой, заданной уравнением.

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде. Пусть

,

тогда

Подставляем полученные соотношения в уравнение плоскости

,

откуда имеем. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты.

Пример 3. Определить угол между прямыми и

.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Очевидно,

.

Поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a ₁₁ x ² + a ₂₂ y ² + a ₃₃ z ² + 2 a ₁₂ xy + 2 a ₂₃ yz + 2 a ₁₃ xz + 2 a ₁₄ x + 2 a ₂₄ y + 2 a ₃₄ z + a ₄₄= 0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов a ₁₁, a ₂₂, a ₃₃, a ₁₂, a ₂₃, a ₁₃ отличен от нуля.

К поверхностям второго порядка относятся

· Сфера,

· эллипсоид,

· однополостной гиперболоид

· двуполостной гиперболоид.

· эллиптический параболоид,

· гиперболический параболоид,

· цилиндрические поверхности,

· конические поверхности.

Сфера

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени

x ² + y ² + z ² = R ²

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени

( x−a ) ²+ ( y−b ) ²+ ( z−c ) ²=R²

Эллипсоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Эллипсоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостной гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

Эллиптический параболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси Oz,

· плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Гиперболический параболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Свойства гиперболического параболоида.

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Гиперболический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси Oz,

· плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой AB, сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Части этих плоскостей (ABCDEFG и abcdefg) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями KM – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр – наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра. Сечения, параллельные основанию - круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра - пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим - эллипсы.

Эллиптический цилиндр

Параболический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

Пара совпавших прямых:

Пара совпавших плоскостей:

Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется при движении прямой AB, проходящей всё время через неподвижную точку (S), и пересекающей за данную линию MN, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении, называются образующими конической поверхности; точка S – её вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом SA, другая – его продолжением SB. Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью (ABCDEF), не проходящей через вершину S. Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на основание, называется высотой конуса. Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола (рис.88). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей (рис.89). В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса).

Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике (эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

Дата добавления: 2014-01-11