Коливальна ланка

T

Arctg(k)

T 0 t

1 1

А г

T 0 t

1 1

2 1

kx_вх х_вих=kx_вх

х_вих х_вих

х_вх 2 ∞

kх_вх

б д

С

x_вих х_вих=f(t)

х_вх

х_вх=f(t)i u_c

1 u_вх R u_вих

в e

Рис.2.1. Перехідні процеси в ланках: а) аперіодичній; б) коливальній; в) інтегруючій; г) підсилюючій; д) ідеальній диференціюючій; е) схема диференціюючої ланки.

Розв’язуючи рівняння (3) відносносно х_вих(t), отримаємо:

x_вих(t) = kx_вх (1 – e^-t/T), (2.5)

або, при х_вх = 1 маємо перехідну функцію аперіодичної ланки:

h(t) = k (1 – e^-t/T). (2.6)

Графік перехідного процесу в аперіодичній ланці зображений на рис.1, а кривою 1. Як видно з рівняння (2.5) та рис.2.1, а), перехідний процес в аперіодичній ланці повністю визначається значеннями коефіцієнта підсилення ланки k та її постійної часу Т.

Якщо диференційне рівняння аперіодичної ланки має вигляд:

Тdx_вих/dt – x_вих = kx_вх, (2.7)

то перехідний процес в ній описується рівнянням (2.8):

x_вих(t) = ke^t/T, (2.8)

і задається кривою 2 на рис.2.1, а. Ланка, яка описується рівнянням (2.7), називається нестійкою аперіодичною ланкою.

Аперіодичні ланки в лінійних динамічних системах зустрічаються дуже часто. Наведемо деякі приклади.

Приклад 1. Нехай на обмотки генератораподаний скачок напруги u_в. Диференційне рівняння ланки, що розглядається, має вигляд:

u_в = i_вR_в + Ldi_в/dt або u_в/R_в = i_в + Tdi_в/dt,

де: T=L/R_в – постійна часу ланцюга ОВГ; L – індуктивність ланцюга; R_в – опір ланцюга.

Враховуючи, що в ланці яка розглядається i_в =x _вих, u_в=x_вх, отримуємо:

Tdx_вих/dt + x_вих = kx_вх,

де k = x_вих / x_вих = 1 / R_в - коефіцієнт підсилення.

Приклад 2. Якщо розглянути зв’язок між змінними ω та і, то, використовуються електромеханічні властивості системи що розглядається при умові пропорційності між ω та М_с – моментом опору на валу електродвигуна, можна отримати:

Тdω/dt + ω = ki,

де: Т = І/с₁ – постійна часу; І – момент інерції, приведений до валу двигуна; с₁ - коефіцієнт пропорційності між М_с і ω; k=k_м/с₁ – коефіцієнт підсилення; k_м - коефіцієнт пропорційності між момементом М, який розвивається двигуном, та струмом і.

Коливальною називається ланка, в якій зв’язок між вихідною та вхідною величинами виражається рівнянням:

Т² d²x_вих/dt² +2ξTdx_вих/dt + x_вих = kx_вх. (2.9)

При умові ξ < 1. У рівнянні (2.9) Т – постіна часу; k – коефіцієнт підсилення; ξ – коефіцієнт затухання.

Розв’язок диференційного рівняння (2.8), а отже, характер зміни х_вих(t) залежить від значення коренів відповідного характеристичного рівняннь:

Т²α² + 2ξТα + 1 = 0; (2.10)

α_1,2 = - 1/Т (ξ + √ξ² - 1). (2.11)

При ξ < 1 корені α₁ та α₂ – комплексні. В цьому випадку перехідний процес в ланці носить коливальний характер, а перехідна функція коливальної ланки має вигляд:

h(t)=k[1-(e^-ξt/T/√1-ξ²) sin((√1-ξ²/T)*t+arctg(√1-ξ²/ξ))]. (2.12)

Коливання (2.12) носять затухаючий характер – крива 1 на рис.2.1 б. Дійсно, з виразу (2.12) при t→ ∞ маємо х_вих(t) → k.

Застосовуючи до рівняння (2.9) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію стійкої коливальної ланки:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k/(T²p² + 2ξTp + 1). (2.13)

Якщо диференційне рівняння ланки має вигляд:

Т²d²x_вих/dt² – 2ξdx_вих/dt + x_вих = kx_вх , (2.14)

то перехідна функція:

h(t)= k(e^ξt/T/√1-ξ²)sin((√1-ξ²/T)t+arctg(√1-ξ²/ξ)). (2.15)

З виразу (2.15) при t→ ∞ слідує h(t)→ ∞, тобто коливання в такій ланці носять розбіжний характер (крива 2 на рис.2.1, б). Ланка, в якій зв’язок між вхідною та вихідною величинами описується диференційним рівнянням (2.13) при ξ < 1, називається нестійкою коливальною ланкою.

У випадку, якщо в рівнянні (2.8) ξ >1, то корені характерестичного рівняння (2.10) будуть дійсними:

α₁ = - (ξ + √ξ² - 1)/T; α₂ = -(ξ - √ξ²-1)/Т.

В цьому випадку перехідний процес у ланці визначатиметься за формулою:

h(t) = k(1- T₁/(T₁-T₂)e^-t/T1+T₂ / (T₁ -T₂)e ^–t/T2, (2.16)

де: Т₁ = - 1/α₁; Т₂ = - 1/α₂.

Таким чином, при ξ>1 рівняння (2.9) описує дві аперіодичні лани, з’єднані послідовно що мають постійні часу Т₁ і Т₂ та коефіцієнти підсилення, добуток яких дорівнює k.

Прикладом коливальної ланки може бути двигн постійного струму незалежного збурення (рис.2.1, б), у якого х_вх= u – напруга, що підводиться до якоря електродвигуна; х_вих=n – швидкість обертання вихідного валу, а момент опору на валу М_с=0, тобто двигун працює вхолосту, при цьому враховується індуктивність ланцюга якоря. При вказаних умовах рівняння двигуна:

Т_мТ_л d²n/dt² + T_м dn/dt + n = ku, (2.17)

де: Т_м – електромеханічна постійна часу, яка характеризує механічну інерцію валу; Т_я – електромагнітна постійна часу ланцюга якоря двигуна, яка характеризує електромагнітну інерцію ланцюга якоря; k – коефіціент підсилення.

Величини Т_м, Т_я, і k визначаються через параметри двигуна, в тому числі Т_я = L_я/R_я, де L_я, R_я - індуктивність та опір ланцюга якоря.

Позначаючи в (17) Т_мТ_я = Т²; Т_м = 2ξТ, отримаємо типове рівняння коливальної ланки, в якій х_вх= u; х_вих= n:

Т²d²n/dt² + 2ξTdn/dt + n = ku.

Рівнянням типу (2.9) описується рух маси, що підвішана на пружині, електромагнітні процеси в електричному ланцюзі, що містить індуктивність L, активний опір R, ємність С та багато інших ланок динамічних систем. Всі ланки такого типу мають передаточну функцію виду (2.12). При цьому величини k і T виражаються через конструктивні параметри відповідної ланки.

Інтегруюча ланка

Інтегруючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна інтегралу від вхідної величини:

_t

х_вих=k∫ x_вх dt, або dx_вих /dt = kx_вх. (2.18)

⁰

Застосовуючи до (2.18) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію інтегруючої ланки:

W(p) = x_вих(p)/x _вх(p) = k/p. (2.19)

На основі (2.18) маємо перехідну функцію інтегруючої ланки (рис.2.1, в):

h(t) = -kt. (2.20)

З виразу (2.19) видно, що в інтегруючій ланці швидкість зміни вихідної величини пропорційна вхідній величині, тобто інтегруюча ланка є астатичною.

Прикладом інтегруючої ланки може бути двигун в якому в якості вхідної величини розглядається швидкість обертання вала n, а в якості вихідної – кут його повороту φ. В цьому випадку маємо:

_{t t}

n =cdφ/dt, або φ = 1/c ∫ ndt = k ∫ ndt,

^{0 0}

де k і с – коефіцієнти пропорційності.

Підсилююча ланка

Підсилюючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна вхідній:

х_вих = kx_вх; W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k. (2.21)

Підсилююча ланка безінерційна – перехідний процес відсутній: вихідна величина змінюється разом зі змінами вхідної величини, без зсуву у часі (рис.2.1, г). В дійсності будь-яка реальна ланка володіє інерційністю. Тому в динамічній системі підсилюючою (безінерційною) приймається така ланка, в якій перехідні процеси протікають невимірно швидше, ніж в інших ланках системи. Прикладом підсилюючих ланок може бути електронний підсилювач в системах регулювання механічних, теплових та інших інерційних процесів.

Диференціююча ланка

Ідеальною диференціюючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна похідній від вхідної велечини:

х_вих = Т dx_вх/dt, (2.22)

де Т – постійна часу ланки, яка визначається через її параметри.

Передаточна функція ідеальної диференціюючої ланки:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = Тp. (2.23)

З передаточної функції (2.23) видно, що при стрибкоподібній зміні вхідної велечини значення вихідної величини прямує до нескінченості, тобто при х_вх = [1]; х_вих = ∞ (рис.2.1, д). Звичайно що в реальних ланках такий перехідний процес не можливий та його описання в формі (2.22) ідеалізоване.

Як приклад диференціюючої ланки широко застосовується RC-контур (рис. 2.1, е), для якого на основі законів Ома та Кірхгофа можна записати:

u_вх = u_с + iR = u_с + u_вих = 1/C ∫ idt + u_вих.

Враховуючи, що і = u_вих / R, маємо:

u_вх = 1/Т ∫ u_вих dt + u_вих,

де Т = RC – постійна часу електричного контура, С.

З останнього виразу отримаємо:

Тdu_вих /dt + u_вих = Т du_вх /dt. (2.24)

Беручи до уваги, що u _вих = х_вих; u_вх = x_вх, на основі (2.24) запишемо:

Тdx_вих/dt + u_вих = Тdu_вх/dt _. (2.25)

Підбираючи параметри ланки так, щоб Т dx_вих/dt <<х_вих, з (2.25) отримаємо рівняння ідеальної диференціюючої ланки – рівняння (2.22).

На вході реальних диференціюючих ланок окрім складової, пропорційної похідній від вхідної велечини, генеруються також і інші складові. В лінійних динамічних системах поряд з ідеальною диференційною ланкою, що описується рівняням (2.22) та передаточною функцією (2.23), в якості типових структурних ланок прийняті також:

- реальна диференціююча ланка першого порядку, яка описується рівнянням:

k(Тdx_вх/dt + x_вх) = x_{вих .} (2.26)

- диференціююча ланка другого порядку, яка описується рівнянням:

k (Т² d²x_вх/dt² + 2ξτ dx_вх/dt +x_вх) = x_вих. (2.27)

Застосовуючи до (2.26) та (2.27) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаєм передаточну функцію диференціюючої ланки першого порядку:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k(Тp + 1), (2.28)

та передаточну функцію диференціюючої ланки другого порядку:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k(Т²p² + 2ξТp + 1) (2.29)

Постійна часу Т та коефіцієнт підсилення ланки k визначається на оснсві параметрів конкретних ланок.

Диференціюючі ланки широко використовуюються як корегуючий пристрій, що вводяться в систему для покращення її динамічних властивостей. За допомогою таких ланок у закони управління вводяться складові, пропорційні похідним по часу за відхиленням чи збуренням, що збільшує швидкодію системи.

Описаними типовими структурними ланками охоплюються всі ланки, можливі в динамічній системі управління. Не важко помітити універсальність приведеного математичного описання. Дійсно, описування ланок динамічних систем з використаням апарату передаточних функцій, що базується на початкових диференційних рівняннях, не залежить від їх фізичної природи. Будь-яка система управління, не залежно від призначення, структури, фізичної природи її елементів може бути представлена математичною моделлю у вигляді сукупності розглянутих вище типових структурних ланок (табл. 1).

Таблиця 1

Ланка Передаточна Типова ланка Перехідний процес

функція

х_вх х_вих

Аперіодична W(p)=k/(Tp+1) х_вих=kх_вх(1-е^-t/T)

Коливальна W(p)= х_вх х_вих х_вих=kx_вх[1-(e^{-ξ t/T})/√1-ξ² *

=k/(T²p²+2ξTp+1)

*sin((√1-ξ² /T)t+

+arctg(√1-ξ²) / ξ) ]

х_вх х_вих

Інтегруюча W(p)= k/p х_вих = kx_вх t

х_вх х_вих

Підсилююча W(p) = k х_вих = kx_вх

х_вх х_вих

Диференцію - W(p) = τ p х_вих = τ dх_вх/dt

Дата добавления: 2014-01-11