Интервалы должны быть

1. во избежание заметных флуктуаций достаточно большими,

· чтобы в каждом интервале число попаданий было >>1

· и чтобы можно было определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал.

2. Вместе с тем, интервалы должны быть достаточно небольшими, чтобы более детально характеризовать распределение величины х.

Итак, мы имеем достаточно большое число достаточно небольших интервалов и,

допустим, нам известна вероятность попадания в тот или иной интервал ∆x.

Сама величина ∆весьма мала, поэтому в качестве характеристики случайной величины берут отношение ∆/∆ x, которое для достаточно малых ∆х не зависит от величины самого интервала ∆x. Это отношение при ∆ х —> 0 называют функцией распределения f (х) случайной величины х: .

Видно, что функции распределения f(х) можно приписать смысл плотности вероятности, т.е. вероятности интересующей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения х.

В разных случаях функция распределения имеет совершенно различный вид, один из которых в качестве примера приведен на рис. 2.

В соответствии с (1 ) площадьполоски шириной dx на этом рисунке равна вероятности того, что случайная величина х окажется в пределах интервала (x, x + dx):

.

Вероятность того, что величина х попадает в интервал (a,b):

Ясно, что вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице. Это называют условием нормировки:

,

где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х.

Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f(x) равна единице (см. рис. 1).

Среднее значение величины x можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распределения f(x):

,

интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х.

Аналогичные формулы справедливы для любой функции φ (x), например,

.

Флуктуации. Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля результатов, когда событие осуществляется, — это не одно и то же. Последняя (доля результатов) испытывает случайные отклонения от предсказываемой вероятности. Именно такого рода отклонения происходят в любых макросистемах. Эти отклонения и обусловливают флуктуации.

Согласно теории вероятности, с увеличением числа N испытаний относительная флуктуация любой величины уменьшается по закону 1/4N. Именно грандиозность числа N молекул и объясняет, почему макроскопические законы, получаемые на основе статистических представлений о движении частиц макросистемы, оказываются точными.

Понятие бесконечно малого объема dV макросистемы -такой объем, размеры которого ничтожны по сравнению с размерами самой макросистемы, но все же намного превосходящие характерный размер ее микростроения.

Каждая бесконечно малая область, предполагается, содержит число частиц dN настолько большое, что относительной флуктуацией их можно пренебречь.

Демонстрация статистического распределения. Великолепная демонстрация статистического характера распределения может быть показана на так называемой доске Гальтона. Она представляет собой

· вертикальную панель, в которую равномерно и достаточно густо вмонтированы горизонтальные стержни — точки на рис..

· Внизу под решеткой из стержней расположены узкие одинаковые вертикальные ячейки.

· Вверху над стержнями помещена воронка, в которую можно сыпать, например, зерна пшена.

· И все это (воронка, стержни и ячейки) прикрыто с передней стороны стеклом.

Если бросить в воронку одно зернышко, то при падении оно испытает много столкновений со стержнями, после чего попадет в одну из ячеек. В какую именно — предсказать совершенно невозможно из-за множества случайных факторов, влияющих на его движение. Можно говорить лишь о вероятности попадания зернышка в ту или иную ячейку. Естественно ожидать, что попадание в центральные ячейки более вероятно, чем в крайние. Опыт это подтверждает: если сыпать пшено в воронку непрерывно, то в центральные ячейки действительно попадает больше всего зернышек.

При очень большом числе зернышек возникает вполне определенная статистическая закономерность распределения их по ячейкам, как показано на рис.

Повторив опыт, обнаружим то же распределение, ту же закономерность (это распределение называют нормальным законом Гаусса ).

Таким образом, мы имеем наглядную, убедительную демонстрацию того, как проявляют себя статистические законы через большое число случайных событий

Дата добавления: 2014-01-11